1、期末复习 二 第三章 分量全为实数的向量称为实向量 分量全为复数的向量称为复向量 向量的定义 定义 向量的相等 零向量 分量全为0的向量称为零向量 负向量 向量加法 向量的线性运算 数乘向量 向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运算 满足下列八条运算规则 除了上述八条运算规则 显然还有以下性质 若干个同维数的列 行 向量所组成的集合叫做向量组 定义 线性组合 定义 线性表示 定理 定义 定义 线性相关 定理 定理 定义 向量组的秩 等价的向量组的秩相等 定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩 也等于它的行向量组的秩 定理 设向量组B能由向量组A线性表示 则向量组B的秩不大于向量组A的秩 推论 定理
2、 推论 推论 极大无关组的等价定义 设向量组是向量组的部分组 若向量组线性无关 且向量组能由向量组线性表示 则向量组是向量组的一个极大无关组 因此 我们可以利用矩阵的秩来求向量组的秩 也可以利用向量组的秩来求矩阵的秩 7向量空间 定义 设 为 维非空向量组 且满足 对加法封闭 对数乘封闭 那么就称向量组 为向量空间 VectorSpace 注任意向量空间都至少有两个子空间 零空间和自身 这两个子空间称为该向量空间的平凡子空间 定义 若满足 设 是一个向量空间 它的某 个向量 中的任一向量均可以表示成基向量的线性组合 记作 dim 线性无关 则称为 的一个基 称为 的维数 且表达式唯一 其组合系
3、数称为向量在该基下的坐标 都可由线性表示 定义 内积 8向量的内积 内积的运算性质 定义 令 向量的长度具有下述性质 单位向量 夹角 定义 正交的概念 正交向量组的概念 正交 若一非零向量组中的向量两两正交 则称该向量组为正交向量组 正交向量组 正交向量组的性质 向量空间的正交基 标准正交基 第四章 1基本概念 定义 线性方程组的一般形式为 其中称为未知量 称为方程组的系数 称为常数项 如果全为零 则称为齐次线性方程组 否则称为非齐次线性方程组 一定使齐次方程组成立 这个解称为齐次方程组的零解 其它解称为方程组的非零解 齐次方程组一定有零解 但不一定有非零解 对于线性方程组 若记 其中称为系数
4、矩阵 称为增广矩阵 称为未知数向量 称为常数项向量 按分块矩阵的记法 可记 利用矩阵的乘法 此方程组可记作 求解方法1 消元法即把其增广矩阵通过初等行变换化成行最简型 再写出相应方程求解 如果线性方程组 求解方法2 克拉默法则 的系数行列式不等于零 即 其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式 即 那么线性方程组有解 并且解是唯一的 解可以表为 注意Cramer法则的适用条件 定理n元线性方程组 1 无解的充分必要条件是 2 有唯一解的充分必要条件是 3 有无穷解的充分必要条件是 2线性方程组的可解条件 重要推论 推论1如果线性方程组的系数行列式则一定有解 且解
5、是唯一的 反之也对 推论2如果线性方程组无解或有无穷多的解 则它的系数行列式必为零 反之也对 推论3如果齐次线性方程组的系数行列式则齐次线性方程组没有非零解 反之也对 向量方程 3齐次线性方程组 解向量 解向量的性质 性质 性质 定义 定理 定义 向量方程 4非齐次线性方程组 解向量的性质 性质 性质 解向量 向量方程的解就是方程组的解向量 求齐次线性方程组的基础解系 5求线性方程组的通解 第一步 对系数矩阵进行初等行变换 使其变成行最简形矩阵 第三步 将其余个分量依次组成阶单位矩阵 于是得齐次线性方程组的一个基础解系 求非齐次线性方程组的特解 将上述矩阵中最后一列的前个分量依次作为特解的第个分量 其余个分量全部取零 于是得 即为所求非齐次线性方程组的一个特解
