第10章无穷级数.ppt

1、第10章无穷级数 10 1常数项级数的概念和性质10 2常数项级数的审敛法10 3幂级数10 4函数展开成幂级数10 5傅里叶级数 10 1常数项级数的概念和性质 10 1 1常数项级数的概念10 1 2常数项级数的基本性质 10 1 2常数项级数的基本性质 性质1级数与级数 常数 的敛散性相同 且若级数收敛于和 则级数收敛于 性质2如果级数 分别收敛于和 则级数也收敛 且其和为 性质3在级数中去掉 加上或改变有限项 不改变级数的敛散性 性质4如果级数收敛 则对这个级数的各项间任意加括号所得的级数仍收敛 且其和不变 性质5 级数收敛的必要条件 如果级数收敛 则当时它的一般项必趋于零 即 10

2、2常数项级数的审敛法 10 2 1正项级数及其审敛法10 2 2交错级数及其审敛法莱布尼茨 Leibniz 定理10 2 3绝对收敛与条件收敛任意项级数的比值审敛法 10 2 1正项级数及其审敛法 一般的常数项级数 它的各项可以是正数 负数 或者零 如果级数的各项全非负数 即 这种级数称为正项级数 判定正项级数是否收敛的几种审敛法 比较审敛法比值审敛法 达朗贝尔 D Alembert 判别法根值审敛法 柯西 Cauchy 判别法 10 3幂级数 10 3 1函数项级数的概念 函数项 无穷级数 常数项级数 收敛点 发散点 收敛域 发散域 和函数 10 3 2幂级数及其收敛性幂级数阿贝尔 Abel 定理10 3 3幂级数的运算 10 4函数展开成幂级数 10 4 1泰勒级数麦克劳林级数10 4 2函数展开成幂级数直接展开法 间接展开法10 4 3函数的幂级数展开式应用1 利用函数的幂级数展开式进行近似计2 利用级数计算积分3 欧拉公式的证明 10 5傅里叶级数 10 5 1以2 为周期的函数展开成傅里叶级数1 三角级数及三角函数系的正交性2 f x 的傅里叶级数3 傅里叶级数的收敛性收敛定理 狄利克雷 Dirichlet 充分条件4 定义在或上的函数展开成傅里叶级数10 5 2周期为2l的周期函数的傅里叶级数