第5章不定积分 我们知道 在微分学中 求导数的问题 就是已知一个函数 求出这个函数的导数 那末与之相反的问题是 已知一个函数的导数 求出这个函数 例如 已知 5 1不定积分的概念 5 1 1原函数的概念 定义5 1 则称函数是在区间上的一个原函数 例如 再看一例 例1求的原函数 解 定理5 1 所有的原函数都在函数族 C为任意常数 内 证 1 又知 故 即 属于函数族 即 问题 在什么条件下 一个函数的原函数存在 定理5 2 原函数存在定理 也就是说 连续函数一定有原函数 下章证明 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 5 2 1不定积分 1 不定积分的定义 定义5 2 在区间I上的原函数全体称为 上的不定积分 其中 积分号 被积函数 被积表达式 积分变量 若 则 C为任意常数 C称为积分常数不可丢 记作 例3求不定积分 解 例4求不定积分 解 合并上面两式 得到 例5 解 不定积分的几何意义 的原函数的图形称为 的图形 的所有积分曲线组成 的平行曲线族 的积分曲线 例6设曲线通过点 1 2 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍 求此曲线的方程 解 所求曲线过点 1 2 故有 因此所求曲线为
