1、祖氏原理與錐體體積公式 ( )高底 31臺灣大學數學系 張海潮教授（退休）中國古代對於錐體體積的討論基於實用的觀點，只討論方錐和三角錐。如果錐底是長方形，而錐頂在長方形一個頂點的正上方，如此形成的方錐稱為陽馬(圖一)，圖中 ABCD 是錐底(長方形)、V 是錐頂，在 A 點的正上方。VCD(圖一)A B如果錐底是直角三角形，而錐頂在非直角頂點的正上方，如此形成的直角錐稱為鱉(月需 ) (圖二)，圖中 ABC 是直角三角形、C 是直角、V 是錐頂，在 A 點的正上方。VB A(圖二)C不難發現，如果將陽馬 VABCD 從 VAC 這個平面切開，就會得到兩個鱉 (月需)，VABC 和 VACD，根
2、據祖沖之原理，兩個鱉 (月需)有相同的體積( 下詳)。無論陽馬或者鱉(月需) ，均源自對長方體的解剖。任取一個長方體(圖三)V US TDA (圖三)B CV 是長方體的一個頂點，長方體有六個面，其中有三個面包含 V 點，有三個面不包含 V 點，將 V 點對後三個面各自張一個錐：VABCD、VSBCT 、VUDCT 。這三個方錐都是陽馬，三個陽馬剛好合成原來的長方體，陽馬與陽馬之間的介面是一個三角形。當長方體是正方體時，上述三個陽馬彼此全等，每一個陽馬的體積是正方體的 ，也就是說等於31。高底 面 積 31至於解剖長方體成三個陽馬，通常不會全等，因此無法直接得出的體積公式，下面對 的公式提出一
3、個證明，證明的高底 面 積 高底 面 積 31過程要用到祖沖之原理。祖沖之原理若是用到錐體，內容是說：底面積相等，高也相等的兩個錐體，體積相等(1) 。原因是 (圖四) ，以平行於底面積的水平面同時截這兩個錐體，各自截出一個截面，由相似形成比例的規律，這兩個截面的面積因此相等，當水平面由下往上移動時，由於對兩個錐體截出的截面面積持續相等，因此兩個錐體的體積也因此相等(2)。(圖四)回到長方體決定的三個陽馬 VABCD、VSBCT 、VUDCT(圖五)V US TDA (圖五)B C顯然我們只需證明 VABCD 和 VUDCT 的體積相等，即可推得 的高底 面 積 31錐體體積公式。但是由祖沖之
4、原理，VABCD 可以解剖成 VACD 和 VACB 兩個底面積相等(ACD=ACB)而同高 (VA)的錐體，因此 VACD= VABCD，同理21VUDCT=VUCT+VUCD。VUCT 和 VUCD 的底面積相等(UCT=UCD) 而同高(VU)，因此體積也相等，亦即 VUCT= VUDCT。以下證明 VACD=VUCT。21注意到 VACD 是底為 ACD 高為 AV 的鱉(月需)，而 VUCD 也可看成是底為VTU 高為 TC 的鱉( 月需) 。VDACUVTCVA=CT，ACD=VTU，所以上述兩個鱉(月需)體積相等。結論是 VABCD=VUDCT，並且同理 VABCD=VSBCT，
5、所以 VABCD 的體積是長方體體積的 ，此即錐體體積公式。31本文數次用到祖氏原理，用現代積分的語言來說，底面積為 高為 的錐體，Ah其體積為 hzdA0)(其中 是從錐頂( )出發沿著高往下探底的參數，由相似形關係，將 A(z)以z0z代入，即得錐體體積公式。2hA1. 祖沖之原理的一般形式是：以同一方向的截面截兩個立體，若截出的面積比例是一個常數，則此二立體體積的比也是同一個常數。2. 文中的說明涉及體如何由面組成，所以當截面積對應相等時，體積也會相等(積面以成體) 。我們可以退一步看看面由線組成或積線以成面的情形：圖中有一個橢圓 和一個圓12byax12ayxtx這條直線和橢圓相交的線段長度是tx 21atb和圓相交的線段長度是t 2t這兩條線段的比是 ，與 無關，因此橢圓面積和圓面積的比等於 ，因為ab: ab:。所以橢圓面積等於 。ab:2ab
