1、第三节可数集合 第一章集合及其基数 注 A可数当且仅当A可以写成无穷序列的形式 a1 a2 a3 1 2 3 4 5 6 a1 a2 a3 a4 a5 a6 例 1 Z 0 1 1 2 2 3 3 与自然数集N对等的集合称为可数集或可列集 其基数记为 可数集的定义 2 0 1 中的有理数全体 0 1 1 2 1 3 2 3 1 4 3 4 1 5 2 5 假设这是一个无限集M 我们可以取出其中一个点a1显然M a1 还是无限集 在M a1 中可以取出一点a2显然M a1 a2 还是无限集 我们可以取出一个可数子集 a1 a2 a3 定理1任何无限集合均含有可数子集 即可数集是无限集中具有最小势
2、的集合 可数集的性质 子集 可数集的子集或为有限集或为可数集 定理2 也可用Bernstein定理的推论证 可数集的性质 并集 定理3有限集与可数集的并仍为可数集 A a1 a2 a3 a4 a5 a6 当集合有公共元素时 不重复排 假设A B C两两不交 则A B b1 b2 b3 bn a1 a2 a3 定理5可数个可数集的并仍为可数集 定理4有限个可数集的并仍为可数集 C c1 c2 c3 c4 c5 c6 B b1 b2 b3 bn A C c1 a1 c2 a2 c3 a3 当Ai互不相交时 按箭头所示 我们得到一个无穷序列 当Ai有公共元时 在排列的过程中除去公共元素 可数个可数集
3、的并仍为可数集的证明 说明 与Hilbert旅馆问题比较 如何把无限集分解成无限个无限集合的并 定理5的另证 首先 0 1 中的有理数全体 0 1 1 2 1 3 2 3 1 4 3 4 1 5 2 5 是可数集 定理6全体有理数Q构成一个可数集合 所以Q是可数集 可数个可数集的并 说明 有理数集在直线上稠密 但仍与稀疏分布在直线上的整数集有相同多的点 对等意义下 定理7 证明 有限个可数集的卡氏积是可数集 设A B是可数集 则A B也是可数集 从而A B也是可数集 可数个可数集的并 利用数学归纳法即得有限个乘积的情形 3可数集的性质 卡氏积 例1平面上以有理点为圆心 有理数为半径的圆全体A为
4、可数集 证明 平面上的圆由其圆心 x y 和半径r唯一决定 从而 定理 证明 例2证明整系数多项式的全体是一可数集 证明 整系数多项式方程的实根称为代数数 不是代数数的实数成为超越数 由代数基本定理知任意整系数多项式至多有有限个实根 从而结论成立 设P是整系数多项式全体所成之集 P n 是n次整系数多项式全体 例3代数数全体是可数集 有关超越数的说明 1874年Cantor开始研究无限集的计数问题 1873年C 埃尔米特证明了e是超越数 1882年Lindemann证明了 是超越数 1934年A O 盖尔丰得证明了若 不是0和1的代数数 是无理代数数 则 是超越数 此问题为Hilbert于19
5、00年提出的23个问题中的第7问题 我们证明了代数数全体是可数集合 通过后面可知道超越数全体是不可数集 故超越数比代数数多得多 例4设A中的元素是直线上两两不交的开区间 则A为至多可数集 证明 由于有理数在直线上稠密 故可在每个开区间内取一有理点 则这些有理点两两不同 从而A与有理数集的一个子集对等 另外有理数集是可数集 所以A至多可数 假设这是集合A 从中可以取出可数子集M 很容易将M一分为二M1 M2 使得两个都是可数集 A M M a1 a2 a3 a4 a5 a6 M1 a1 a3 a5 M2 a2 a4 a6 取A A M M1 A M2即可 说明 由此我们可得任一无限集一定存在它的一个真子集与它有相同多的元素个数
