1、1空间向量一、空间向量的加法和减法：求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则即：在空间任1取一点 ，作 ， ，则 aAbabA求两个向量和的运算称为向量的加法：在空间以同一点 为起点的两个已2 知向量 、 为邻边作平行四边形 ，则以 起点的对角线 就是bCC与 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则a二、实数 与空间向量 的乘积 是一个向量，称为向量的数乘运算当a时， 与 方向相同；当 时， 与 方向相反；当 时，00a0为零向量，记为 的长度是 的长度的 倍0三、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量
2、都共线四、向量共线充要条件：对于空间任意两个向量 ， ， 的充要条件是存在实数 ，使 a0b/abab五、平行于同一个平面的向量称为共面向量六、向量共面定理：空间一点 位于平面 内的充要条件是存在有序实数对 ， ，使 ；或对空CAxyxyCA间任一定点 ，有 ；或若四点 ， ， ， 共面，则xyC1xyzCzA七、已知两个非零向量 和 ，在空间任取一点 ，作 ， ，则 称为向量 ， 的夹角，记作ababab 两个向量夹角的取值范围是： ,ab ,0,ab八、对于两个非零向量 和 ，若 ，则向量 ， 互相垂直，记作 2a九、已知两个非零向量 和 ，则 称为 ， 的数量积，记作 即 零向量abco
3、s,abbcos,ab与任何向量的数量积为 0十、 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积abcos,十一、若 ， 为非零向量， 为单位向量，则有 ；e1cos,eae； ， ， ；203ab与 同 向与 反 向 2a； 4cos,ab5十二、空间向量基本定理：若三个向量 ， ， 不共面，则对空间任一向量 ，存在实数组 ，使得abcp,xyzpxyz十三、若三个向量 ， ， 不共面，则所有空间向量组成的集合是 这个集合可看abc ,xaybzcR作是由向量 ， ， 生成的， 称为空间的一个基底， ， ， 称为基向量空间任意三个不共面的向量都,abc可以构成空间的一个基底十四、设 ， ，
4、为有公共起点 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底） ，以 ， ， 的公共起1e23 1e23点 为原点，分别以 ， ， 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系 则对于空间任意一12e3xyz xyz个向量 ，一定可以把它平移，使它的起点与原点 重合，得到向量 存在有序实数组 ，使得p p,把 ， ， 称作向量 在单位正交基底 ， ， 下的坐标，记作 此时，向量123xeyzxyzpe23p2的坐标是点 在空间直角坐标系 中的坐标 pxyz,xyz十五、设 ， ，则 1,axyz2,b11212,abxyz 221bz3,z 若 、 为非零向量，则 4125 121200
5、abxyz若 ，则 60121212/ ,abxy 7821122cos, zby， ，则 91,xyzA2,xz222111dxyzA十六、空间中任意一条直线 的位置可以由 上一个定点 以及一个定方向确定点 是直线 上一点，向量 表示直ll Ala线 的方向向量，则对于直线 上的任意一点 ，有 ，这样点 和向量 不仅可以确定直线 的位置，还可以具l taa体表示出直线 上的任意一点l十七、空间中平面 的位置可以由 内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点 ，它们的方向向量分别 为 ， 为平面 上任意一点，存在有序实数对 使得 ，这样点 与向量 ， 就确定了平面ab,xyxybab的位置
6、十八、直线 垂直 ，取直线 的方向向量 ，则向量 称为平面 的法向量lla十九、若空间不重合两条直线 ， 的方向向量分别为 ， ，则bb/a， abR 0a二十、若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且 ，则n/a， 0n/a二十一、若空间不重合的两个平面 ， 的法向量分别为 ， ，则abb， ab0b二十二、设异面直线 ， 的夹角为 ，方向向量为 ， ，其夹角为 ，则有 acosab二十三、设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ， 与 所成的角为 ， 与 的夹角为 ，则有llnllnsinconl二十四、设 ， 是二面角 的两个面 ， 的法向量，则向量 ， 的夹角（或其补角）就是二面角的平12l1n2面角的大小若二面角 的平面角为 ，则 12cos二十五、在直线 上找一点 ，过定点 且垂直于直线 的向量为 ，则定点 到直线 的距离为lAlnAlcos,ndA二十六、点 与点 之间的距离可以转化为两点对应向量 的模 计算二十七、点 是平面 外一点， 是平面 内的一定点， 为平面 的一个法向量，则点 到平面 的距离为ncos,nd
