1、1 矢量基础 一 矢量与标量 矢量 由大小及方向表示 其合成服从平行四边形法则 二 矢量的基本概念 矢量的书写方法 印刷上用黑体字表示r 手写时在字符上加一箭号表示 标量 由大小及单位或量纲表示 运算服从普通的代数运算法则 矢量的几何表示法 用一带箭头的有向线段表示矢量 2 矢量的模 矢量的大小称为矢量的模 记为 单位矢量 模为1的矢量称为单位矢量 用于表示方向 常用表示 矢量相等 两矢量大小相等 方向相同 则两矢量相等 即使他们不再同一起点上 负矢量 一矢量的负矢量与该矢量大小相等 方向相反 记为 记为 3 矢量加法 服从平行四边形法则 合矢量是平行四边形的对角线 记为 对矢量加法有 交换率
2、 结合率 矢量的减法 定义为 加上B矢量的负矢量 也可以用三角形表示 4 矢量与数量相乘 记为 定义为 C m A 即C的模为A的m倍 当m大于0时 C与A方向相同 当m小于0时 C与A方向相反 利用上述乘法的定义 任意一个矢量都可以表示为该矢量的模与该矢量方向上的单位矢量的乘积 任意矢量的单位矢量也可以表示为 5 矢量的解析表示法 Y X x y x rcos y rsin 这里 利用矢量加法 规定 沿x轴的单位矢量记为 沿y轴的单位矢量记为 r可以表示为x与y分量之和 0 6 其中r是该矢量的模 而括号中的项是r方向上的单位矢量 在已知x及y的情况下 例1 设矢量 写出该矢量的模和单位矢量
3、 并用图表示该矢量 7 X Y x1 x2 y1 y2 r1 r2 利用矢量的解析表示法 设两矢量 两矢量之和可以表示为 采用矢量的解析表示法后 矢量的加减运算转变成为对矢量的对应分量的加减运算 在三维直角坐标系的情况下矢量有三个分量 0 8 其中 是r矢量分别与x y z轴所成的夹角 则 x rcos y rcos z rcos 如果已知的是矢量的大小和方向则 这时r矢量也可以表示成为 9 矢量与数量相乘时 各分量也相应扩大同样的倍数 如 这时r是矢量的模 括号中的量是单位矢量 cos cos cos 也称为该矢量的方向余弦 10 矢量的乘法 物理学中用到的矢量的乘法还有点乘和叉乘 矢量的点
4、乘 点乘的积称为标积或数量积 为矢量F在S上的投影与矢量S大小之积 对矢量点乘有 交换率 当 0时 当 2时 达最大值 两矢量相互垂直时 点积为0 11 试证明矢量合成的平行四边形法则 即两矢量的合矢量r的大小为 例2 设有两个矢量分别为 他们间的夹角为 解 两边对自身点乘 得 上式开方得 12 例3 设在直角坐标系中的两个矢量分别为 试证明 解 13 矢量的叉乘 记为 M的大小定义为M rFsin M的方向垂直于r与F所构成的平面 指向由右手定则决定 两个矢量 的叉乘定义为一个新的矢量 M的大小等于矢量r与F所构成的平行四边形的面积 14 当 0时 两矢量平行时 M 0矢量积最小 当 2时M FS矢量积最大 注意 交换率对矢量的叉乘不成立 因为 15 矢量的导数 在物理学中 矢量常常是时间或空间坐标的函数 也常对矢量函数进行求导与积分的运算 设位置矢量r是时间的函数 可以表示为 在直角坐标系中 r对时间的导数定义为 当上述极限存在时r的导数存在 对直角坐标系来说 16 如果 问这时 单位矢量表示方向 是可以随时间变化的 所以求导时要考虑单位矢量的导数 这时
