1、第四章 一元时间序列分析方法,学习目标:,了解平稳性和白噪声过程;熟悉随机序列模型;熟悉ARIMA过程;掌握时间序列的平稳性和单位根检验。,第四章 一元时间序列分析方法,第一节 时间序列的相关概念第二节 随机序列模型第三节 单整自回归移动平均模型第四节 平稳性与单位根检验,如果回归方程的扰动项存在序列相关,那么应用最小二乘法得到的参数估计量的方差将被高估或者低估。因此,检验参数显著性水平的t统计量将不再可信。可以将序列相关可能引起的后果归纳为:, 使用OLS公式计算出的标准差不正确,相应的显著性水平的检验不再可信 ;, 如果在方程右边有滞后因变量,OLS估计是有偏的且不一致。, 在线性估计中O
2、LS估计量不再是有效的;,本章将不再仅仅以一个回归方程的残差序列为研究对象,而是直接讨论一个平稳时间序列的建模问题。在现实中很多问题,如利率波动、收益率变化及汇率变化等通常是一个平稳序列,或者通过差分等变换可以化成一个平稳序列。,第一节 时间序列的相关概念,一、平稳性在时间序列平稳性,一般包括下列两类平稳过程:1、严格平稳过程(Strictly Stationary Process)如果对所有的t,任意正整数n和任意n个正整数(t1,t2,tn), (yt1,yt2,ytn )的联合分布与(yt1+m,yt2+m,ytn+m)的联合分布是相同的, 即:,2、弱平稳性过程(Weakly Stat
3、ionary Process),如果一个时间序列 的均值,方差在时间过程上保持是常数,并且在任何两时期之间的协方差值仅依赖于该两时期间的距离或滞后,而不依赖于计算这个协方差的实际时间,则称时间序列 是弱平稳的。弱平稳的时间序列有如下性质:,可见,如果一个时间序列概率分布的所有阶矩都不随时间变化,那它就是严格平稳的;而如果仅仅是一阶矩和二阶矩(即均值和方差)不随时间变化,那它就是弱平稳的。,决定 是如何与它自身的先前值相关的,对于一个平稳的时间序列,它只依赖于yt 与yt-s之差。其中, 被称为自协方差函数。,二、自协方差(auto-covariance),时间序列的相关概念,yt,yt-s的相
4、关系数称为yt的间隔为s的自相关系数,通常记为s,在弱平稳性的假定下它只是s的函数,定义,三、白噪声过程,若一个随机过程满足: 则称之为白噪声过程(white noise process)对于白噪声序列,自相关系数为零。在实际应用中,如果所有样本的自相关函数接近为零,则认为这个序列为白噪声序列。,相关图与Q -统计量,应用所估计回归方程残差序列的自相关和偏自相关系数以及Ljung-Box Q - 统计量来检验序列相关。Q - 统计量的表达式为:,其中:j是残差序列的 j 阶自相关系数,T是观测值的个数,m是设定的滞后阶数 。,H0:序列不存在m 阶自相关; H1:序列存在m 阶自相关。如果Q
5、- 统计量在某一滞后阶数显著不为零,则说明序列存在某种程度上的序列相关。在实际的检验中,通常会计算出不同滞后阶数的Q - 统计量、自相关系数和偏自相关系数。如果,各阶Q - 统计量都没有超过由设定的显著性水平决定的临界值,则接受原假设,即不存在序列相关,并且此时,各阶的自相关和偏自相关系数都接近于0。,反之,如果,在某一滞后阶数m,Q - 统计量超过设定的显著性水平的临界值,则拒绝原假设,说明残差序列存在m 阶自相关。由于Q-统计量的P值要根据自由度m 来估算,因此,一个较大的样本容量是保证Q- 统计量有效的重要因素。,EViews操作,在方程工具栏选择View/Residual Tests/
6、correlogram-Q-statisticsEViews将显示残差的自相关和偏自相关函数以及对应于高阶序列相关的Ljung-Box Q统计量。如果残差不存在序列相关,在各阶滞后的自相关和偏自相关值都接近于零。所有的Q-统计量不显著,并且有大的P值。,例:用普通最小二乘估计的简单消费函数的结果,结果:系数在统计上是很显著的,并且拟合得很好。但是,如果误差项是序列相关的,那么估计OLS标准误差将是无效的(是因为阶数不够吗?回头问老师),并且估计系数由于在方程右端有滞后因变量会发生偏倚和不一致。在这种情况下D-W统计量作为序列相关的检验是不合适的,因为在方程右端存在着一个滞后因变量。选择View
7、/Residual test/Correlogram-Q-statistice会产生如下情况:,虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的。如果自相关值在这个区域内,则在显著水平为5%的情形下与零没有显著区别。 本例13阶的自相关系数都超出了虚线,说明存在3阶序列相关。各阶滞后的Q-统计量的P值都小于5%,说明在5%的显著性水平下,拒绝原假设,残差序列存在序列相关。,若对每一个固定的t, 是一个随机变量,则y1,y2, yt为随机时间序列。而揭示随机时间序列自身变化规律和相关关系的数学表达式就是时间序列分析模型。随机时间序列分析模型分为三类:自回归模型(auto-regressive
8、 model, AR)、移动平均模型(moving-average model,MA)和自回归移动平均模型(auto-regressive moving average model,ARMA)。对于任一个时间序列,怎样判断它是遵循纯AR过程(若是的话,阶数p取什么值),纯MA过程,(若是的话,阶数q取什么值)或是ARMA模型,此时p和q各取多少。我们将遵循以下四个步骤对这三个模型做一详细介绍:,第二节 随机序列模型,随机序列模型,步骤一:识别。就是找出适当的p和q值。我们即将说明怎样借助相关图和偏相关图来解决此类问题。步骤二:估计。一旦辨别适当的p和q值,下一步便是估计模型中所含自回归和移动平
9、均项的参数。步骤三:诊断。选定模型并估计其参数之后,下一步就要看所选的模型对数据拟合的是否够好。对所选模型的一个简单的检验,是看从该模型估计出来的残差是不是白噪声;如果是,就可接受这个具体的拟合;如果不是,我们必须重新在做。步骤四:预测。ARMA建模方法之所以得以普及,理由之一是它在预测方面的成功。有许多事例用这个方法做出的预测比用传统的计量经济建模方法做出的预测更为可靠,特别是在短期预测方面。,一、自回归模型(AR)p阶自回归过程,满足下列方程 (4.16)其中, 为白噪声, , ,p为自回归模型阶数,1,p是自回归模型参数,它表明每改变一个单位时间值时,对 yt 所产生的影响,它是根据样本
10、观测值来估计的参数。,随机序列模型,设 j=0时,0=1,则得 类似MA()。E(yt)=AR(1)模型平稳条件为:|1|1;t是白噪声的。,AR(1)模型的平稳性条件,AR(p)模型的平稳性条件,(4.16)设 ,令 则 (z) 是一个关于z的p次多项式,AR(p) 模型平稳的充要条件是(z) 的根全部落在单位圆之外。,式(4.16)可以改写为滞后算子多项式的形式可以证明如果AR(p)模型满足平稳性条件,则可以表示为如下MA()的形式 yt可以由一个白噪声序列的线性组合表示,即任何一个AR(p)模型均可以表示为白噪声序列的线性组合。,AR(1)的自相关系数 由0|1|p, 应接近零,我们利用
11、这一性质来决定p阶。,(2)采用信息准则法判别模型阶数,在实际应用中,很难利用自相关函数来确定模型的合理阶数。较为简便的方法是,所选定的阶数应使得信息准则的数值达到最小。对于信息准则,一般应用赤池(Akaike)准则信息准则(AIC)和许瓦兹(Schwarz)贝叶斯信息准则(SBIC)。,随机序列模型,3、参数估计对一个AR(p)模型,我们常用最小二乘法来估计其参数,最小二乘是从第p+1个观测值开始的。,随机序列模型,4、模型验证对实际数据所时拟合的模型,要仔细地验证它的合理性。若模型是合理的,其残差序列应该是白噪声。残差的样本自相关函数和Ljung-Box统计量可用来检验 与一个白噪声的接近
12、程度。对 AR(p) 模型,Ljung-Box统计量Q(m) 渐进服从自由度为m-p的 分布。如果所拟合的模型经经验验证是不合理的,那么就需要对它进行修正。,随机序列模型,5、预测预测是时间序列分析的一个重要应用。向前一步预测向前两步预测向前多步预测,向前一步预测,由方程则预测误差的方差为,向前两步预测,由方程则预测误差的方差为,向前多步预测,由方程则对平稳AR(1)模型,当k时,yh(k)收敛于E(yt)。,随机序列模型,6、判定预测是否精确在实际中应用中,通常是对整个样本外的区间进行预测,然后将其与实际值比较,把他们之间的差异用某种方法加总。对第i个观测值的预测误差定义为其实际值和预测值之
13、间的差值,再求其平方或取其绝对值使各项为正后进行加总。比较模型的均方误差MSE和平均绝对误差MAE,具有较小误差值的模型更为准确。,例 利用 AR(1) 模型描述上证指数的变化规律,本例取我国上证收盘指数(时间期间:1991年1月2003年3月)的月度时间序列S作为研究对象,用AR(1)模型描述其变化规律。首先对其做变化率,srt = 100(St-St-1)/S t-1(t = 1, 2, , T),这样便得到了变化率序列。一般来讲,股价指数序列并不是一个平稳的序列,而通过变换后的变化率数据,是一个平稳序列,可以作为我们研究、建模的对象。记上证股价指数变化率序列为sr,建立如下模型:,图 A
14、R(1)回归结果,案例说明4-1上证指数收益率的AR建模,图4-3:上证指数收益率序列及其拟合值,在图中,蓝实线是上证指数变化率序列,红虚线是AR(1)模型的拟合值。从该图可以看出我国上证股价指数变化率序列在1991-1994年之间变化很大,而后逐渐趋于平稳。近年来,波动平缓,并且大多在3%下面波动。拟合曲线基本代表了这一时期的均值。,二、移动平均模型(MA),若一个随机过程yt 可为下面形式: (4.40)则称方程式(4.40)表示的是q阶的移动平均过程(moving average),表示为MA(q)。 在MA(q)模型中, 为参数, 为白噪声过程。最简单的移动平均过程是MA(1),可表达
15、为:,1、MA模型阶的识别,自相关函数是识别MA模型的阶的有用工具。一个时间序列yt 具有自相关函数 l ,若q0 但对kq有 k= 0,则yt 服从一个MA(q)模型。,2、MA模型估计,估计MA模型通常用最大似然法。有两种方法求MA模型的似然函数。第一种是条件似然法,即假定初始的扰动(即t,t0)都是0;这样1=y1-c0,2=y2-c0-11 计算似然函数所需要的抖动可以递推得到。第二种方法是把初始抖动(t,t0)当作模型的附加参数与其它参数一起估计出来。,3、MA模型预测,由于MA模型有有限记忆性,它的点预测很快可以达到序列的均值。设预测原点为h,对MA(1)过程的向前1步预测,模型为
16、 取条件期望,我们有向前1步预测误差的方差为 。,向前两步预测,由方程则预测误差的方差为,自回归模型和移动平均模型是时间序列中最基本的两种模型类别,将这两种基本的模型类别结合起来,就产生了自回归移动平均模型(ARMA)。若一个时间序列 yt 可表示为: (4.51) 或者表达为: (4.52)或简化为则称时间序列模型为自回归移动平均模型,表示为ARMA(p,q)。在模型中,(L)和 (L) 分别表示为滞后p和q阶的表达式,并称其为自回归算子和移动平均算子。,三、自回归移动平均(ARMA)模型 p126,AR(p)模型的平稳性条件,(4.16)设 ,令 则 (z) 是一个关于z的p次多项式,AR
17、(p) 模型平稳的充要条件是(z) 的根全部落在单位圆之外。,式(4.16)可以改写为滞后算子多项式的形式可以证明如果AR(p)模型满足平稳性条件,则可以表示为如下MA()的形式 yt可以由一个白噪声序列的线性组合表示,即任何一个AR(p)模型均可以表示为白噪声序列的线性组合。,考察MA(q) 模型 若 的根全部落在单位圆之外,则MA算子称为可逆的。,MA(q) 模型的可逆性,ARMA(p,q) 模型包括了一个自回归模型AR(p)和一个移动平均模型MA(q) 或者以滞后算子多项式的形式表示 (4.47),ARMA(p,q) 模型的平稳性条件,若令则ARMA(p,q)模型平稳的充要条件是(z)
18、的根全部落在单位圆之外。在式(4.47)的两边除以 ,可以得到 其中,ARMA模型构造了一种更为复杂的白噪声序列的线性组合,近似逼近一个平稳序列。可以看出ARMA模型的平稳性完全取决于自回归模型的参数(是从均值看出的吗?),而与移动平均模型参数无关。,ARMA(1,1)过程,可表示为 yt-1yt-1=t+1t-1 (4.48)若该过程要符合平稳性和可逆性的性质,则要求:|1|1;|1|DW时,所估计的回归就有谬误之嫌。 有时候时间序列的高度相关仅仅是因为两者同时随时间有或上或下变动的趋势,并没有真正的联系。这种情况就称为伪回归。,单整性的定义 P141,若非平稳序列可以通过差分运算,得到平稳
19、性的序列称为单整(integration)序列。定义如下:如果序列yt ,通过 d 次差分成为一个平稳序列,而这个序列差分d1次时却不平稳,那么称序列yt为d阶单整序列,记为 yt I(d)。特别地,如果序列yt本身是平稳的,则为零阶单整序列,记为 yt I(0)。,如果两个序列分别为d阶单整和e阶单整,即 xt I(d), yt I(e),e d则二序列的线性组合是e 阶单整序列 zt =a xt +b yt I(max(d,e),单整阶数是使序列平稳而差分的阶数。对于随机游走过程,有一个单位根,所以是I(1),同样,平稳序列是I(0)。一般而言,表示存量的数据,如以不变价格资产总值、储蓄余
20、额等存量数据经常表现为2阶单整;以不变价格表示的消费额、收入等流量数据经常表现为1阶单整;而像利率、收益率等变化率的数据则经常表现为0阶单整。,两种类型的非平稳性 p142,带漂移的随机游走模型表达为: (4.54)趋势平稳过程是因其在线性趋势附近而得名,此过程表达为: (4.55) 其中,t是白噪声扰动项。,(4.54)式可以扩展为: yt=+yt-1+t根据的不同取值,会产生以下三种情况: 1,对系统的冲击不仅会持续,而且还会逐渐增大,平稳性与单位根检验,图4-18 随机游走与带漂移的随机游走时间序列图,单位根检验 p144,检验经济时间序列是否平稳,需要先检验单位根的存在。常用测验单位根
21、的方法是由Dickey 和Fuller (Fuller, 1976; Dickey and Fuller, 1979)提出的Dickey-Fuller (DF)检验,即单位根检验。,DF检验 1/6,考虑3种形式的回归模型 其中a是常数, t 是线性趋势函数,ut i.i.d. N (0, 2) 。,DF检验 2/6,1)如果 -1 1,则yt平稳(或趋势平稳)。2)如果 =1, yt 序列是非平稳序列。 yt 的差分序列yt=yt-yt-1是平稳的。3)如果 的绝对值大于1,序列发散,且其差分序列 yt=(-1)yt-ut是非平稳的。,DF检验 3/6,因此,判断一个序列是否平稳,可以通过检
22、验 是否严格小于1来实现。也就是说:原假设H0: =1,备选假设H1: 1 从方程两边同时减去yt-1得,,其中: = -1,所以原假设和备选假设可以改写为 H0:=0 H1:0可以通过最小二乘法得到 的估计值,并对其进行显著性检验的方法,构造检验显著性水平的t统计量,DF检验 4/6,DF检验 5/6,但是,Dickey-Fuller研究了这个t 统计量在原假设下已经不再服从 t 分布,它依赖于回归的形式(是否引进了常数项和趋势项) 和样本长度T 。 Mackinnon进行了大规模的模拟,给出了不同回归模型、不同样本数以及不同显著性水平下的临界值。这样,就可以根据需要,选择适当的显著性水平,
23、通过 t 统计量来决定是否接受或拒绝原假设。这一检验被称为Dickey-Fuller检验(DF检验),DF检验 6/6,上面描述的单位根检验只有当序列为AR(1) 时才有效。如果序列存在高阶滞后相关,这就违背了扰动项是独立同分布的假设。在这种情况下,可以使用增广的DF检验方法(augmented Dickey-Fuller test )来检验含有高阶序列相关的序列的单位根。,ADF检验 1/6,ADF检验方法通过在回归方程右边加入因变量yt 的滞后差分项来控制高阶序列相关,ADF检验 2/6,扩展定义将检验 H0:=0 H1:0也就是说原假设为:原假设至少存在一个单位根;备选假设为:序列不存在
24、单位根。序列yt可能还包含常数项和时间趋势项。判断 的估计值是接受原假设或者接受备选假设,进而判断一个高阶自相关序列AR(p) 过程是否存在单位根。,ADF检验 3/6,类似于DF检验,Mackinnon通过模拟也得出在不同回归模型及不同样本容量下检验 不同显著性水平的 t 统计量的临界值。这使我们能够很方便的在设定的显著性水平下判断高阶自相关序列是否存在单位根。,ADF检验 4/6,但是,在进行ADF检验时,必须注意以下两个实际问题:(1)必须为回归定义合理的滞后阶数。通常采用AIC准则来确定给定时间序列模型的滞后阶数。在实际应用中,还需要兼顾其他的因素,如系统的稳定性、模型的拟合优度等。,
25、ADF检验 5/6,(2) 可以选择常数和线性时间趋势,选择哪种形式很重要,因为检验显著性水平的t统计量在原假设下的渐进分布依赖于关于这些项的定义。 如果在检验回归中含有常数,意味着所检验的序列的均值不为0,一个简单易行的办法是画出检验序列的曲线图,通过图形观察原序列是否在一个偏离 0 的位置随机变动,进而决定是否在检验时添加常数项;,ADF检验 6/6, 如果在检验回归中含线性趋势项,意味着原序列具有时间趋势。同样,决定是否在检验中添加时间趋势项,也可以通过画出原序列的曲线图来观察。如果图形中大致显示了被检验序列的波动趋势随时间变化而变化,那么便可以添加时间趋势项。,EViews软件中的操作
26、说明:,双击序列名,打开序列窗口,选择View/unit Root Test,得到下图:,单位根检验窗口,进行单位根检验必须定义4项: 1选择检验类型 在Test type的下拉列表中,选择检验方法。EViews5提供了6种单位根检验的方法: Augmented Dickey-Fuller(ADF) Test Phillips-Perron(PP) Test Dickey-Fuller GLS Test Kwiatkowski , Phillips , Schmidt and Shin (KPSS) Test Elliot , Rothenberg , and Stock Point Opti
27、mal (ERS) Test Ng and Perron (NP) Test,2选择被检验序列的形式,在Test for unit root in中确定序列在水平值、一阶差分、二阶差分下进行单位根检验。可以使用这个选项决定序列中单位根的个数。如果检验水平值未拒绝,而在一阶差分拒绝原假设,序列中含有一个单位根,是一阶单整I(1);如果一阶差分后的序列仍然拒绝了原假设,则需要选择2阶差分。一般而言,一个序列经过两次差分以后都可以变为一个平稳序列,也就是二阶单整I(2)。,3定义检验方程中需要包含的选项,在Include in test equation中定义在检验回归中是否含有常数项、常数和趋势项
28、、或二者都不包含。这一选择很重要,因为检验统计量在原假设下的分布随这3种情况不同而变化。,4定义序列相关阶数,在Lag lenth这个选项中可以选择一些确定消除序列相关所需的滞后阶数的准则。一般而言,EViews默认Akaike info准则和Scharz准则。定义上述选项后,单击OK进行检验。EViews显示检验统计量和估计检验回归。单位根检验后,应检查EViews显示的估计检验回归,尤其是如果对滞后算子结构或序列自相关阶数不确定,可以选择不同的右边变量或滞后阶数来重新检验。,例,检验居民消费价格指数的平稳性,用AR(1) 模型模拟1990.12004.12居民消费价格指数一阶差分CPI的变
29、化规律。在用ADF进行单位根检验前,需要设定序列的是否含有常数项或者时间趋势项。我们可以通过画出原序列的图形来判断是否要加入常数项或者时间趋势项。从CPI图形可以看出含有常数项,但不含有时间趋势项。CPI序列的ADF检验结果如下:,检验结果显示,CPI序列接受原假设,因此, CPI序列是一个非平稳的序列。接着再对一阶差分CPI序列进行单位根检验,ADF检验结果如下:,菲利普斯-配荣(Phillips-Perron,PP)检验,PP检验针对的是回归模型的干扰项t 存在异方差或序列相关的现象。回归模型的三种形式及检验规则与DF检验相同。但PP检验下,这两个统计量的计算相对复杂,是在对应DF统计量的
30、形式上加以修正。但PP检验比照的临界值分布表和DF检验下的三种回归形式下的临界值分布表相同。,例4-5 运用EVIEWS进行上证指数单位根检验 p145,对上证指数1990.12.19-2006.8.31的上证指数日收盘序列 进行单位根检验。根据模型所示,计算得到的ADF统计量0.022985,大于临界值,故不能拒绝被检验的指数序列非平稳的零假设。对其一阶差分序列进行ADF检验,此时的统计量为-59.79900,小于相应临界值,故拒绝指数差分序列非平稳的假设。综合上两个结果,得出指数序列为一阶单整的结论。,例4-6 股市与经济增长的关联性检验 p149,李志刚(2005)选取了1992年第1季
31、度至2005年第2季度的时间序列,共53组观察值。本文首先由各季度的累计GDP求得每季度的GDP增加值,并采用Y-11方法进行季节调整(记为QGDP,单位:亿元人民币),而后取自然对数,即economy = lnQGDP。上证指数的季度数据,以每季度最后一个交易日的收盘价作为该季度的指数值(记为QSHY),而后取自然对数,即 stock = lnQSHY。,图 4-22 股指和经济增长运动的共同漂移,如图所示,economy与stock这两个序列在一定程度上是一起漂移的,说明二者可能存在着协整关系。本文采用ADF(Augmented Dickey-Fuller)检验来考察各变量是否平稳。如表2
32、所示,无论是否有时间趋势,各变量的原序列均无法一致拒绝存在单位根的零假设,而一阶差分序列则均拒绝该零假设。因此,economy、stock均为1 阶单整的时间序列。,第三节 单整自回归移动平均模型 p133,单整自回归移动平均模型(autoregressive integrate moving average models,ARIMA)最先由博克斯(Boy)和詹金斯(Jenkins)在1976年提出的。该模型是指将非平稳时间序列转化为平稳时间序列,然后将因变量仅对它的滞后值及其随机误差项的现值和滞后值进行回归所建立的模型。目前,该模型已经在众多领域和研究中得到应用,并证明了其较强的解释力和适应
33、性。,一、ARIMA模型介绍,假定存在一个随机过程含有d个单位根,则经 d次差分后就变成一个平稳过程,这样的性质称为齐次非平稳性。即若yt=dxt是平稳时间序列,则称xt是d阶齐次非平稳序列,这里d表示d阶差分。考虑如下形式的模型: (L)dxt=(L)t (4.56)其中,(L)是平稳的自回归算子,(L)为可逆的移动平均算子。若用yt替代dxt,则(4.56)式就可以表示为: (L)yt=(L)t (4.57)该表达式与前面所属的ARMA模型的表达式相同。,ARIMA(p,d,q)模型区别于ARMA(p,q) 之处就在于前者的自回归部分的特征多项式含有d个单位根。因此,对一个序列建模之前,我
34、们应当首先确定该序列是否具有非平稳性,这就首先需要对序列的平稳性进行检验,特别是要检验其是否含有单位根及所含有的单位根的个数。,应用ARIMA(p, d, q) 模型建模的过程,博克斯詹金斯的建模思想可分为如下4个步骤:1)对原序列进行平稳性检验,如果序列不满足平稳性条件,可以通过差分变换(单整阶数为d,则进行d阶差分)或者其他变换,如对数差分变换使序列满足平稳性条件;2)通过计算能够描述序列特征的一些统计量(如自相关系数和偏自相关系数),来确定ARMA模型的阶数p和q,并在初始估计中选择尽可能少的参数;,3)估计模型的未知参数,并检验参数的显著性,以及模型本身的合理性;4)进行诊断分析,以证
35、实所得模型确实与所观察到的数据特征相符。,对于博克斯詹金斯建模思想的第3、4步,需要一些统计量和检验来分析在第2步中的模型形式选择得是否合适,所需要的统计量和检验如下:1)检验模型参数显著性水平的t统计量;2)为保证ARIMA(p,d,q) 模型的平稳性,模型的特征根的倒数皆小于1;3)模型的残差序列应当是一个白噪声序列。,ARIMA估计的输出,含有AR或MA项的模型的估计输出和OLS模型一样,只是在底部增加了一个AR,MA多项式的根的倒数。如果我们利用滞后多项式(L)和(L)写一般的ARMA模型: (L)yt=(L)t输出表中报告的结果相当于下列多项式 (z-1)=0 和(x-1)=0 的根。这些根(可能是虚根)的模应小于1,如果不满足这个条件,输出表中将显示警告信息。,如果有绝对值大于1的实根或一对复根的逆在单位圆外(即模大于1),这意味着自回归过程是发散的。如果的根的倒数在单位圆外,说明MA过程是不可逆的,应使用不同的初值重新估计模型,直到得到满足可逆性的移动平均。如果估计的MA模型的根的模接近于1,有可能是对数据差分过多,这就很难估计和预测 。如果可能的话,应减少差分阶数重新估计。,这个ARMA估计输出例子的结果对应于如下定义:,或等同于:,注意:MA项的符号和教科书中的符号可能相反。倒根的模接近于1,这对于许多宏观经济序列是很典型的。,