1、第五章光的衍射 衍射 光在传播中遇到障碍物时 偏离原来传播方向进入障碍物的几何阴影区的现象衍射是光波动性的表现 是影响光学成像系统性能的主要因素之一 5 1惠更斯 菲涅耳原理 惠更斯的解释 1690 波前上的每一点都是一个次级扰动源 发出球面子波 这些子波的包络面就是新的波前问题 不能确定光波通过障碍物后沿不同方向传播的振幅菲涅尔的补充 1818 所有子波来自同一波前 所以 后一时刻的波前应是所有子波相互干涉的结果 惠更斯 菲涅尔原理 5 1 考察单色点源S对P的作用用 波前代替点光源S 波前上Q点的复振幅 EQ Aexp ikR RQ点面元d 对P的作用dE P CK EQexp ikr r
2、 d C 常数 K 倾斜因子 5 1 菲涅尔假设 K K 90 0 故只有 面上的点对P有贡献所有 面上的点对P点的贡献和 E P dE P CE Q exp ikr r K d 5 2 惠更斯 菲涅尔原理的数学表达波前 可以是任意曲面 此时E P dE P C E Q exp ikr r K d 5 4 惠更斯 菲涅尔原理的推广 5 2基尔霍夫衍射理论 惠更斯 菲涅尔原理不严格 例如K 的引入缺乏理论依据 没有具体形式基尔霍夫 1882 找到标量波衍射的较严格数学表达式 得出K 的具体形式从微分波动方程 亥姆霍兹方程 出发利用格林定理 5 2一 亥姆霍兹 基尔霍夫积分定理 亥姆霍兹方程 2E
3、 k2E 0 5 5 格林定理任意复函数E和G在曲面 及其内部都有连续的一 二阶导数 则 V G 2E E 2G dv G E n E G n d 5 6 5 2一 若G也满足亥姆霍兹方程 则 5 6 左边为零即 G E n E G n d 0 5 8 选择G具有球面波形式G exp ikr rr表示 内被考察点P与V内任意一点Q的距离 r 0处 G为奇异点 需除去 G E n E G n d 0 G E n E G n d G E n E G n d 5 10 5 2一 将G的球面波形式代入 考虑 的极限 有 G E n E G n d 4 E P 代入 5 10 P P E n exp i
4、kr r E exp ikr r n d 4 亥姆霍兹 基尔霍夫积分定理 5 13 5 13 告诉我们 曲面 内任意一点P的场值可以用曲面上的场值E和 E n来表示 5 2二 菲涅尔 基尔霍夫衍射公式 目的 把亥姆霍兹 基尔霍夫积分 5 13 转化为惠更斯 菲涅尔原理的形式 5 4 取 1 2 上 E和 E n由入射光决定基尔霍夫边界条件假定 1上 E E n 0 2上 运用辐射条件 limR R E n ikE 0 可忽略 2的影响 5 2二 5 14 成为E P exp ik exp ikr r cos n r cos n 2 d A i 5 19 菲涅尔 基尔霍夫衍射公式或简称基尔霍夫衍
5、射公式令C 1 i E Q Aexp ik K cos n r cos n 2 若S离 很远 K 1 cos 2则 5 19 就是 5 4 且给出了K 的具体形式 5 2三 巴俾涅原理 对考察点P而言 设左屏造成的光场为E1 P 右屏造成的光场为E2 P 全通光屏造成的光场为E P 则E P E1 P E2 P 若E P 0 则E1 P E2 P 即I1 P I2 P 5 3基尔霍夫衍射公式的近似一 傍轴近似 基尔霍夫衍射公式形式复杂 难以得到解析解傍轴近似以简化衍射公式 1 取cos 1 K 1 2 球面波幅度因子1 r 1 z 3 相位因子须更高阶近似 5 3二 菲涅尔近似 做出 1 2
6、两个近似后 E P E Q exp ikr d 5 21 式中 E Q exp ik 下一步的近似要对r做出r z 1 x x1 z 2 y y1 z 2 1 2若忽略三次及以上各项 取r z 1 x x1 2 y y1 2 2z 2 则为菲涅尔近似 5 3二 菲涅尔近似下的衍射公式成为 外E x1 y1 0 故积分可在整个x1y1平面进行 菲涅尔衍射公式 5 24 5 3夫琅和费近似 若 x12 y12 2z r z x2 y2 2z xx1 yy1 z此时的衍射公式为夫琅和费衍射 5 27 5 4矩孔和单缝的夫琅和费衍射一 夫琅和费衍射装置 如图 5 9a 所示光源无限远将无穷远处的观察面
7、转移到有限远处的透镜后焦面 5 4二 夫琅和费衍射公式的意义 参考图5 10 设CH连线的单位矢量为q d 0 CP连线的长度为rr f x2 y2 2f 即为 5 28 积分前的指数幂项Q点发出 方向为q的光线 相对于CH的光程差 xx1 yy1 f 即为 5 28 积分内的指数幂项 5 4二 夫琅和费衍射公式 5 28 中的指数幂项就是孔径面内各点发出的子波和中心点C发出子波的位相差 5 28 表示透镜把所有沿q方向传播的子波会聚到P点因为孔径平面 之外 E x1 y1 0 所以可把 内的积分扩展到整个 x1 y1 平面 得到 5 32 如果不考虑代表r的指数幂项 5 32 就是孔径面上复
8、振幅的傅立叶变换 5 4三 矩孔衍射 矩孔衍射装置 图5 12 5 4三 夫琅和费矩孔衍射图样 5 4三 夫琅和费矩孔衍射x方向光强剖面 5 4三 夫琅和费矩孔衍射Y方向光强剖面 5 4三 考虑X轴上的光强分布w 0I I0 sin 2 kla 2暗点位置 asin x n 次极大位置 d sin d tg 中央亮斑在x0 f a y0 f b以内 5 4四 单缝衍射 单缝衍射 b a若用单色点光源扩束后照明单缝 衍射光能量集中在X轴上用上述装置 可测量细丝直径 细丝与单缝互补 按巴俾涅原理 除了轴上点外 I丝 I缝 于是可用单缝衍射分析方法来分析细丝衍射条纹若用与单缝平行的线光源 在观察平面
9、上得到一些与单缝平行的直线衍射条纹 5 5圆孔的夫琅和费衍射 圆孔衍射装置图 5 18 采用极坐标计算 5 5 I P E P E P I0 2J1 Z Z 2 5 45 Z ka r fI0 a2 2 C 2是观察屏轴上点的光强衍射图样圆对称 随r振荡 中央亮斑 爱里斑 集中了绝大部分能量 亮斑范围由Z 1 22 决定 此时r0 1 22f 2a 0 0 61 a 5 5 圆孔夫琅和费衍射强度分布 5 5 圆孔夫琅和费衍射强度剖面 5 6光学成像系统的衍射和分辨本领一 成像系统的衍射现象 光瞳的有限尺寸 衍射点物通过成像系统后所成的像是一个有条纹的衍射光斑 成像质量下降若系统还存在像差 衍射
10、光斑的形状会进一步变化传统成像质量分析方法 星点法 5 6二 在像面观察的夫琅和费衍射 5 6二 像面上的复振幅E x y 代入会聚球面波E x1 y1 Aexp ikr r A Rexp ikR exp ik 2R x12 y12 得 5 50 5 6二 可见 将f换成R 则原夫琅和费衍射的表达式 5 29 就是 5 50 结论 成像系统对点物在像面上所成的像是孔阑的夫琅和费衍射图样 5 6三 成像系统的分辨本领 如果成像系统是理想的 即无衍射 无像差 则点物成点像 两个点物无论如何接近 都可以通过其像点区分开来有衍射但无像差的系统称为衍射受限系统衍射不可避免 即使对衍射受限系统 点物也不再
11、成点像 而是衍射斑 两个点物足够接近时 其像斑互相重合以至不可分辨 说明衍射受限系统存在空间分辨率下限 5 6三 矩孔像斑叠加剖面 5 6三 圆孔像斑叠加 5 6三 圆孔像斑叠加剖面 5 6三 瑞利判据一个点物衍射图样的中心极大与近旁另一个点物衍射图样的第一极小重合时 光学成像系统恰可分辨这两个点物若除了衍射 系统还有像差 点物的衍射像斑会进一步扩大或变形 5 6三 1 望远镜的分辨本领 直径为Di的透镜 其最小分辨角用 i表示 i 0i 1 22 Dii t和e时 上式分别表示望远镜物镜和眼睛的分辨本领 显然 t e 望远镜放大倍率M e t Dt De 5 6三 2 照相物镜的分辨本领 焦
12、距为f 孔径为D的照相物镜 分辨本领以像面上单位长度内能分辨的直线数N表示N 1 1 22 D f若取 550nm N 1490D fD f称相对孔径 5 6三 3 显微镜的分辨本领 满足瑞利判据时的 所对应的 就是物镜的最小分辨距离 1 22 D显微物镜满足阿贝条件 n sinu n sinu 0 61 nsinu 0 61 NANA 数值孔径 S1 S2 S 1 S 2 u u 图5 25 5 6四 棱镜光谱仪的色分辨本领 线光源S被透镜准直扩束为直径a的平行光不同波长成分被第二透镜会聚到观察面上不同地方 单一波长的像有衍射展宽 其中央亮纹角半径与单缝衍射相同 0 a色分辨本领A 5 6四
13、 如图 设 与 的像恰可分辨设FE EH d对 2d nB 5 57 对 由于CH 有2d n n B 5 58 由 5 57 和 5 58 nB 故A B n 5 7双缝夫琅和费衍射 双缝夫琅和费衍射装置如图所示b a 可忽略y方向衍射图样的变化 5 7一 双缝衍射的强度分布 运用式 5 29 求解 只需考虑轴上点 sin kwb 2 kwb 2 1 5 7一 令kla 2 I0 ab 2 C 2 由I P E P E P 得到P点光强 光强包含两个因子 1 单缝衍射因子 sin 2 2 双缝干涉因子cos2 2 kdsin 是来自对应两光束的位相差 见图 5 29 5 7一 对干涉因子极大
14、 2m 或dsin m 极小 2 m 1 2 dsin m 1 2 对衍射因子极大 0极小 asin n 缺级 干涉极大与衍射极小重叠d a K 缺m nK级 5 7一 衍射因子和干涉因子分解合成图 5 7一 单缝和双缝衍射比较 5 8多缝夫琅和费衍射 垂直于图面的线光源S经透镜准直后照明多缝衍射屏G 缝间距为d 在另一透镜的后焦面观察衍射图样 5 8一 强度分布的计算 两种计算办法 1 前面双缝用的办法 从夫琅和费衍射公式出发 逐缝积分 2 利用前面双缝的结果 总衍射效果等于单缝衍射与两缝干涉之积若采取 2 法 单缝衍射因子仍为A E0 sin 只需重新推导干涉因子x1方向上相邻的两个狭缝到
15、达P点的位相差为 2 dsin 第一 二 三等各狭缝在P点的复振幅分别为E1 P A E2 P Aexp i E3 P Aexp i2 5 8一 总复振幅E P 等于各复振幅之和 E P iEi P A 1 exp i exp i N 1 Asin N 2 sin 2 exp i N 1 2 P点总光强I P I0 sin 2 sin N 2 sin 2 2 5 66 I0 E0 2可见多缝干涉因子为 sin N 2 sin 2 2 5 8二 多缝衍射图样 图 5 35 4缝衍射的强度分布曲线 5 8二 图5 36不同缝数的多缝夫琅和费衍射图样 5 8二 多缝衍射图样 从干涉因子知 亮纹强度为
16、N2I0 sin 2 主极大条件为 2 dsin 2m 或dsin m m 0 1 2 暗纹条件为dsin m m N m 1 2 N 1相邻主极大之间有N 1个暗纹相邻暗纹角距离或主极大的角半宽度 Ndcos 5 69 缺级规律与双缝相同 5 9衍射光栅 光栅 周期性调制入射光振幅 位相的光学元件根据出射光性质区分 透射和反射光栅根据调制方式区分 振幅和位相光栅基本作用 按波长进行光束的空间分离基本用途 光谱仪中的分光元件 5 9一 光栅的分光性能1 光栅方程 多缝夫琅和费衍射图样中亮纹的条件 5 67 光束垂直入射dsin m m 0 1 2 空间分光的依据 变 变光束以i倾斜入射 光栅方
17、程 5 71 成立d sini sin m m 0 1 2 5 71 入射与出射光在光栅法线同侧取 号 各在一侧取负号 5 71 对反射和透射光栅均适用 5 9一 图5 39光束斜入射时相邻光束光程差计算的示意图 5 9一 2 光栅的色散本领 色散本领 空间分离色光的能力两边微分 5 71 得d d m dcos 角色散 5 72 dl d fd d f为透镜焦距 线色散 5 73 较小处 cos 1 光谱线均匀分布 称匀排光谱 离散化记录中遗失的谱线可线性插值得到 5 9一 3 光栅的色分辨本领 色分辨本领 区分微小波长差异谱线的能力 下限存在的原因 谱线有衍射展宽定义由瑞利判据 波长分别为
18、 和 的两条谱线 其中一条的主极大与另一条的第一极小重合时 两条谱线恰可分辨色分辨本领A 满足瑞利判据时 Ndcos d d mN A mN 5 9一 4 光栅的自由光谱范围 光栅衍射中 每一级衍射产生一组光谱 光谱范围较大时 相邻衍射级次的光谱会发生重叠 干扰光谱测量不发生重叠的光谱范围称自由光谱范围波长 的第m 1级与波长 的第m级谱线重叠时 与 之间的谱线不会重叠 m 1 m 自由光谱范围 SR m 5 75 5 9二 闪耀光栅 1 衍射级次 光强 2 衍射级次 色散本领 且色分辨本领 1 和 2 互相矛盾闪耀光栅解决了这个矛盾 单元衍射中心在 方向 干涉级次在 方向 若i 光栅方程为2
19、dsin B 5 76 5 9正弦振幅光栅 设光栅G有N个单元 复振幅透过率为 0 B 1 单位振幅单色平面波垂直照明 上式即为紧靠光栅后面的输出光场衍射光场E ES EM 单元衍射 多元干涉 已知EM sin N 2 sin 2 求出ES就得到E x 5 9二 略去常系数和二次位相因子 I IS IM ES 2 EM 2 5 9二 正弦光栅衍射图样 5 10圆孔和圆屏的菲涅耳衍射一 菲涅耳衍射 与夫琅和费衍射比较 菲涅耳衍射 1 自然条件下容易观察到 2 数学上不容易处理分析菲涅耳衍射的主要方法 半定量方法波带法 处理圆形孔径菲涅耳积分法 处理半无限大孔径 5 10二 菲涅耳波带法 以z1
20、j 2为半径的球面在圆孔 上截取出半径为aj的圆 被分割为一系列环带 相邻环带对P0点的贡献正好相反 5 10二 第j个波带在P0点产生的振幅 Ej CAj rj 1 cos 2 5 82 当z1 时 Aj z1 即所有波带面积相等j rj 且 1 cos 2 Ej E1 E2 E3 P0点总复振幅E iEi E1 E2 E3 1 n 1 En E E1 En 2 n为奇取正 n为偶取负 5 10二 推论 当各带在P0点的振幅相当时 1 波带数为奇 P0点总振幅约为第一波带振幅 2 波带数为偶 P0点总振幅约为零圆孔直径和波长一定 z1变 波带数变 轴上点的光强亦变圆孔直径无限大时 轴上点总幅
21、度为第一波带幅度的一半 5 10三 圆孔衍射图样 轴外点的总幅度也可用波带法近似分析相邻波带的贡献相反每个波带的有效面积不再相等衍射图样是一组明暗交替的同心圆环条纹圆孔菲涅耳衍射演示课件 5 10四 圆屏的菲涅耳衍射 轴上点P0的幅度为屏外第一波带幅度的一半衍射图样为 亮暗相间的同心圆 中心总为亮点 5 10五 菲涅耳波带片 既然相邻波带对P0点的贡献相反 那么 只允许偶数或奇数波带通光 P0点光强会大大加强只允许偶数或奇数波带通光的光阑称菲涅耳波带片菲涅耳波带片的作用类似透镜 5 10五 前面讨论中 平行光垂直入射 光源位于无限远 P0是亮点 即P0是焦点 焦距f z1 aj2 j 还是用上
22、述波带片 但现在入射光来自距离波带片 的点光源 图5 58 此时P0一般不再是亮点 亮点位于S 它满足SQ QS SS j 2 2 aj2 1 2 2 aj2 1 2 由于aj很小 可把根号去掉 得到1 1 1 f可见波带片类似透镜 5 10五 波带片与透镜的差异 1 波带片不仅有焦点P0 而且有一系列光强较小的次焦点P1 P2 P3 距离波带片f 3 f 6 f 7 2 除了实焦点外 还有虚焦点 3 波带片焦距与波长有关 因此色差较大波带片的优点 1 由于不涉及透射材料 可在极长和极短波段工作 2 易于得到大尺寸 3 形状灵活可变 5 11直边菲涅耳衍射 直边 孔径边缘平行于坐标轴 如半平面
23、屏 狭缝 矩孔由于变量可分离 可以在菲涅耳衍射公式中用数值计算 半解析求解设单位振幅单色光垂直入射 孔径内E x1 y1 1 5 11一 菲涅耳积分及图解 可变量分离 做变量代换 5 92 变成 称下面的F 为菲涅耳积分 C 和S 为菲涅耳余弦和正弦积分 5 11一 C 和S 需数值计算C 和S 为坐标画出的曲线称Cornu蜷线 其弧长就是 设 1 弧长OA 2 弧长OB 则F 1 矢量OA F 2 矢量OB 矢量AB则代表 5 11二 半平面屏衍射 由前面的分析知道 在Cornu曲线中作图 或用数值积分 都能求得直边孔径的菲涅耳衍射直边孔径的复振幅透过率函数t x y 1 当x 0t x y
24、 0 当x 0由知道 5 11二 5 94 成为 E F F 是无屏时的衍射场 并将F 1 i 2带入上式 5 11二 直边菲涅耳衍射强度剖面 5 11二 直边菲涅耳衍射强度分布 5 12全息术一 概述 全息术 干涉记录 衍射再现与普通摄影技术不同 全息术记录的对象 振幅 位相 位相是物体三维信息的载体同时记录振幅和位相的方法 干涉回顾 两光束干涉的光强I I1 I2 2 I1I2 1 2cos 一个平面上的光场完全决定其后面的光场 所以 一个全息图能完全再现景物的光场 5 12二 全息术理论 1 基本公式记录过程 5 12二 1 基本公式再现过程 5 12二 若EC ER 上式第一项沿照明光
25、方向传播 第二项除常数R2外与物光完全一致 形成物的虚象 第三项是物光的共轭 形成实象适当安排光路 可使三个光波互不干扰 5 12二 2 基元全息图 参考光为平面波 物光为简单基本光波 1 物光为平面波 5 12二 可见两个平面波干涉记录下的全息图是余弦光栅 再现时若C R 则再现光为 5 12二 第一项是照明光 第二项是物光 第三项是物光的共轭 这三项也就是余弦光栅的零级和正 负一级衍射波 5 12二 2 基元全息图 2 物光为球面波 5 12二 照明光与参考光相同 再现光为 5 12二 这种全息图的再现类似于菲涅耳波带片t x y 1 O 2 2Ocos x2 y2 z1 亮环半径aj 2
26、j z1 1 2前两项为垂直于全息图面传播的平面波 第二项为发散球面波 物 第三项为会聚球面波 物共轭 5 12三 全息图的特点和要求 能再现物体的三维形貌既然记录是干涉过程 所以记录所用光源必须相干再现象的分辨率与全息图大小有关记录介质是正性还是负性不影响再现象记录介质的分辨率应在微米数量级记录过程中 所有元件应防震 5 12四 全息图的应用 全息光栅比传统方法简单 没有周期误差像差补偿让位相畸变的共轭项再次通过位相畸变区 使畸变互相抵消测量两个时刻记录同一物体的全息图 若两个时刻物体有变化 再现的两个物光波叠加会产生干涉条纹 由干涉条纹可判断变化的有无 大小和区域安全防伪 第五章重点I 惠更斯 菲涅尔原理基尔霍夫衍射公式的近似菲涅尔近似夫琅和费近似巴俾涅原理实验室中实现夫琅和费衍射的方法夫琅和费衍射公式的意义 第五章重点II 几种基本孔径的夫琅和费衍射的计算和结论矩孔 单缝 圆孔亮 暗纹条件光学成像系统中夫琅和费衍射的分析方法基本成像系统中的分辨本领望远镜 显微镜 照相机 棱镜光谱仪双缝 多缝的夫琅和费衍射规律及计算亮暗纹条件 衍射和干涉因子 缺级 主极大半角宽度 第五章重点III 衍射光栅光栅方程 色散和色分辨本领 自由光谱范围闪耀光栅原理及计算正弦振幅光栅特点圆屏和圆孔的菲涅尔衍射分析方法波带法 波带片原理和计算直边菲涅尔衍射的基本分析方法全息术基本原理
