1、第七章多项式有限域 7 1域的特征素域 7 1 1域的特征7 1 2素域 7 1 1域的特征 设F是一个域 是F的壹 作映射 n ne n I 则 1 是整数环I到F内的映射 因为e F 所以ne F 故 I F 2 是整数环I到F内的同态映射 因为 m n m n e me ne m n mn mn e me ne m n 设N是 的核 则N是I的理想 从加法角度看N是I的子群 而I在加法下是循环群 由循环群的子群是循环群知 N是由某一元素生成的 设为p 则N np n I pI 可设p 0 p称为F的特征 由N是 的核知 对 n N n 0F 特别地 p pI N 故 p pe 0F 设n
2、为乘法单位元e在加法下的周期 下面证明n p 即p是乘法单位元e在加法下的周期 1 当p 0时 N pI 0 故 n ne 0Fiffn Niffn 0 p 即 e在F的加法群里面的周期是 2 当p 0时 n ne 0Fiffn Niffn pk k Iiffp n再由 p pe 0F 知n p 因此 n p 这就是说 e在F的加法群里面的周期是p 域F的特征p或等于0或是一个质数 证明 只需证若F的特征p 0 则p一定为质数 用反证法 设p不是质数 则p hk 1 h p 1 k p因此 pe hk e he ke 而pe 0F 因为域中无零因子 所以或he 0F或ke 0F 但这和e的周期
3、为p矛盾 由域是消去环 而消去环中所有不为0的元素在加法下的周期相同 且或为0或为质数 定理7 1 1 7 1 2素域 定理7 1 2设p为质数或等于0 特征为p的任意域F包含RP为其最小子域 证明 设 是F的壹 作映射 同前 n ne n I 令I 为I在F内的同态映象 I I ne n I 则I 为环 I I 且同态核N pI 故 I PI I 若F的特征p为质数 往证F包含RP为其最小子域 因p为质数 所以I PI RP是一个域 由I PI I 知I 是域 因此是F的子域 任取F的子域F 则F 必然包含e及其任意整数倍 即 必然包含I 所以I 是F的最小子域 即 F包含和Rp同构的I 为
4、其最小子域 现在用1代表F的壹 e 1 用整数n代表ne 特征是质数p时 modp合同的整数代表F的同一个元素 Rp的元素写作0 1 p 1 则抽象地看 Rp与I 一样 这样 特征为p的域便包含Rp为其最小子域 若F的特征p为0 往证F包含R0为其最小子域 由p 0 知 的核pI 0I 0 所以I pI 1 0 1 显然I pI I 而I pI I 故I I I 还不是一个域 故扩充 n 0 往证 为有理域R0到F内的一个同态映射 先证 为有理域R0到F内的一个映射 若h k m n 则hn km 因此 hn e km e 即 he ne ke me 因k 0 n 0 F的特征p为0 所以ke
5、 0F ne 0F 故 he ke me ne 这就是说 由 所规定的m n的映象由m n唯一确定 而与这个有理数的表示方法无关 再证 为同态映射 因此若令 则R0 R0 证 是R0到其映象R0 的同构映射 故R0 是域 因此是F 的子域 证法一 R0是一个域而 不是把它的所有元素映到0 所以 由教材233页习题6 7 1 R0 R0 证法二 再证明 是1 1映射即可 因 是R0到R0 上的映射 只需证若h k m n 则he ke me ne 反证 设h k m n 而he ke me ne 则 he ne ke me 故 hn e km e 即 hn e km e 0F 亦即 hn km
6、e 0F 由F的特征p为0 知hn km 0F 所以hn km h k m n 与h k m n矛盾 F的任意子域要包含e e的整数倍及其商 即包含R0 所以 F包含和R0同构的R0 为其最小子域 现在用1代表F的壹 e 1 用整数n代表ne 用有理数m n代表me ne 这样 抽象地看 R0 与R0一样 特征为0的域便包含有理域R0为其最小子域 证毕 RP称为最小域或素域 其中 p为0或质数 例 实数域 复数域以R0为其最小子域 设n是任意整数 a F 若用1代表F的壹 e 1 用整数n代表ne 则na有两种意思 1 可以看作是a的n倍 2 可以看作是F中两个元素的乘积 结果都等于 ne a
7、 结论1 p是质数时 任意非零元素在F的加法群中的周期等于p p 0时 任意非零元素在F的加法群中的周期等于 结论2 设F的特征是质数p 则 a b p ap bp证明 由二项式定理 系数都是整数 除了两端的ap和bp 中间各项的系数中r都小于p 所以分子上的p不可能在约分中消掉 因而中间各项的系数是p的倍数 因此 a b p ap bp 结论3设F的特征是质数p 则 a b p ap bp证明 令c a b 由结论2 ap c b p cp bp a b p bp 从而 a b p ap bp结论4设F的特征是质数p 则结论5设F的特征是质数p 则结论6设F的特征是质数p n不是p的倍数 则 Fermat小定理
