1、 7 4有理域上的多项式 本原多项式 结论1任意有理系数多项式和一个整系数多项式相通 定义1设 a0 n a1 n 1 an是一个整系数多项式 若系数a0 a1 an互质 则称 是一个本原多项式 结论2任意整系数多项式与一个本原多项式相通 结论3任意有理系数多项式与一个本原多项式相通 定理7 4 1设p是一个质数 a0 n a1 n 1 ang b0 m b1 m 1 bm是两整系数多项式 若p整除 g 的所有系数 则p或整除 的所有系数或整除g 的所有系数 证明 反证法 假定p不整除 的所有系数也不整除g 的所有系数 证明 从后往前看 和g 设ai bj是 g x 的系数中第一个不为p整除者
2、 于是 p不整除ai p ai 1 p an 1 p不整除bj p bj 1 p bm 2 g 中 n i m j的系数是aibj ai 1bj 1 ai 2bj 2 ai 1bj 1 ai 2bj 2 此式中 除aibj外 其余各项由 1 及 2 都为p整除 而由p不整除ai p不整除bj 有p不整除aibj 故p不整除 n i m j的系数 与题设p整除 g 的所有系数矛盾 定理7 4 2设 是本原多项式 g 是整系数多项式 若 g 则以 除g 所得之商式必是整系数多项式 证明 由 g 知 有g h 不论h 是否为整系数多项式 总可以取一个正整数c使k ch 是整系数多项式 故 cg k
3、此式表示以c乘g 的所有系数就是 k 的所有系数 从而c整除 k 的所有系数 设c p1p2 pr是c的质因数分解式 则p1p2 prg k 因为p1 p1p2 pr 故p1整除 k 的所有系数 但 是本原多项式 故p1整除k 的所有系数 从而k p1k1 其中k1 是整系数多项式 因此有p2 prg k1 同理有p1整除k1 的所有系数 如此下去 消去p1p2 pr最后得g kr 其中kr 是整系数多项式 但由g h 有h kr 故h 是整系数多项式 Eisenstein定则 定理7 4 2设 a0 n a1 n 1 an是整系数多项式 若对一个质数p p不整除a0 p a1 p an p2
4、不整除an 则 在有理域上不可约 证明 用反证法 假定 有一个真因式 因为 和一个本原多项式相通 不妨假定 本身就是本原多项式 故 除 所得的商式 是整系数多项式 从而 可分解为非常数的两个整系数多项式之积 即 a0 n a1 n 1 an b0 r br c0 s cs 于是有a0 n b0c0 r s an brcs因为p不整除a0 所以p不整除b0 p不整除c0 因为p2不整除an 所以br和cs中至少有一个不为p整除 不妨设p不整除cs 在b0 r br中从后往前看 设第一个不为p整除的系数为bi 看 b0 r br c0 s cs 中xr i的系数 bics bi 1cs 1 bi
5、2cs 2 由题设 这个系数应为p整除 但p不整除bics 而 中其余各项都为p整除 可见p又不能整除这一系数 此为矛盾 Note 并不是每一个有理域上的多项式都可用Eisenstein定则判定是否可约 xn x 1就是一例 例 由Eisenstein定则知 2 2在有理域上不可约 所以 2 2不可能有有理根 因而立即推出是无理数 例 利用Eisenstein定则 可以写出许多在有理域上不可约的多项式 例如 n 2 4 2 3 4 10 n 2x 2等 定理7 4 4对任意n 1 有理域上有n次质式 例 证明f x 3x5 7x2 5在有理域R0上不可约 证明 若f x 在R0上可约 则f x
6、 在R2上可约 因此 只需证明f x 在R2上不可约 则可知f x 在R0上不可约 而在R2上 f x x5 x2 1 1 证明无一次因式 由R2 0 1 f 0 f 1 1知 f x 在R2上无根 即无一次因式 2 证明无二次因式 在R2上二次因式只有 x2 x2 1 x2 x x2 x 1 其中只有x2 x 1是质式 但x5 x2 1 x2 x 1 x2 x 1 1 因此 f x 在R2上无二次因式 所以 f x 在R2上不可约 有理根问题 定理7 4 5设 a0 n a1 n 1 an是整系数多项式 若有理数b c是 的根 其中b和c是互质的整数 则b an c a0 证明 因为b c是 的根 所以 b c整除 因而本原多项式c b整除 且商式应是整系数多项式 故 分解为整系数多项式之积如下 c b d0 n 1 dn 1 比较两边的首系数和常数项得a0 cd0 an bdn 1 故b an c a0 例 证明为无理数证明 若为有理数 2 2应有有理根 但2的因数 1 2都不是 2 2的根 所以是无理数 定义 复数 称为一个代数数 如果 是某个有理系数非0多项式的根 若 不是任何有理系数非0多项式的根 则 称为一个超越数 例 圆周率 3 14159 和自然对数底e 2 71828 都是超越数 例 一些有理数通过有限次加减乘除及开整数次方得到的数都是代数数 比如 都是代数数
