1、第三章 基本初等函数（）知识网络第 1 讲 弧度制与任意角的三角函数知 识 梳理1任意角的概念：设角的顶点在坐标原点，始边与 轴正半轴重合，终边在坐标平面内.x终边绕顶点旋转即可产生正角、负角和零角.象限角：若角 的终边在第 象限，则称k为第 象限角；终边相同的角所有与 终边相同的角连同 在内构成集合为k360,SkZ2弧度制的概念：与半径等长的圆弧所对的圆心角称为 1rad（弧度）的角.任意角的概念弧长与扇形面积公式角度制与弧度制同角三角函数的基本关系式诱导公式计算与化简证明恒等式任意角的三角函数三角函数的图像和性质已知三角函数值求角图像和性质和角公式 倍角公式差角公式应用应用应用应用应用应
2、用应用角度与弧度的互化公式： ； 1rad80（ ） 57.3180rad3 扇形的弧长公式： （扇形的圆心角为 弧度，半径为 ） ；扇形的面积公式：lS21lr4 任意角的三角函数的定义：在角 的终边上任取点 ，设(,)Pxy(0)Or则 ； ；sinyrcosxrtanyxcot,e,x5 三角函数在各象限的符号： 上正下负横轴零， 左负右正纵轴零，sincostan交叉正负横轴零6三角函数的定义域三角函数 定义域xysinRcoRxytan Zkx,2cot,xyse Zkx,2c ,重 难 点 突 破 1.重点：掌握任意角的三角函数的定义和弧度制处理三角式的化简，求值等问题。2.难点：
3、确定三角函数值的符号，理解弧度的概念及其与角度的关系3.重难点：理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算. 掌握终边相同的角的表示方法和扇形弧长和面积的计算.(1)角的范围的确定应用不等式的性质和结合终边相同的角的表达式。问题 1：若 是第三象限角，试求 、 的范围. 2 3点拨：依据象限角的表示法将 表示出来后，再确定 、 的范围，再进一步判断 、 2 3 2所在的象限. 3： 是第三象限角 k360+180 k360+270(kZ)(1)k180+90 k180+135(kZ) 2当 k2 n(nZ)时， n360+90 n360+135 2当 k2 n+1(nZ)时， n360+270
4、 n360+315 2 为第二或第四象限角. 2(2)k120+60 k120+90(kZ) 3当 k3 n(nZ)时， n360+60 n360+90(nZ) 3当 k3 n+1(nZ)时， n360+180 n360+210（ nZ) 3当 k3 n+2(nZ)时， n360+300 n360+330(nZ) 3 为第一或第三或第四象限角. 3（2）扇形弧长和面积的计算严格按公式进行转化。问题 2. 一个扇形 OAB 的面积是 1 平方厘米，它的周长是 4 厘米，求 AOB 和弦 AB 的长.分析：欲求 AOB，需要知道 的长和半径 OA 的长，用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，结合已知
5、条件，能比较容易地求得，之后在 AOB 中求弦 AB 的长.作 OM AB 交 AB于 M，则 AM BM AB，在 Rt AMO 中求 AM.12解：设扇形的半径为 R cm. AOB= rad.据题意 解之得124a21过 O 作 OM AB 交 AB 于 M.则 AM BM AB.12在 Rt AMO 中， AMsin1， AB2sin1故 AOB2 rad.该 AB 的长为 2sin1 厘米.热 点 考 点 题 型 探 析考点 1 角的概念问题题型 1: 终边相同的角的表示方法例 1 写出 所夹区域内的角的集合。(0)yx【解题思路】任一与角 终边相同的角，都可以表示成 与整数个周角的
6、和.解：当 终边落在 上时，角的集合为 ； ()|45360,kZ当 终边落在 上时，角的集合为 ；0yx|所以，按逆时针方向旋转有集合：|453645360,SkkZ【名师指引】把一条直线分成两部分，分别写出它们对应角的集合，最后求并集即可题型 2:象限角的表示.例 2已知角 是第二象限角，求：（1）角 是第几象限的角；（2）角 终边的位2置。【解题思路】依据已知条件先得出角的范围,再讨论 值确定象限角.k解析 ， ；180369036kk9018245k当 为偶数时， 在第一象限，当 为奇数时， 在第三象限；2即： 为第一或第三象限角。 ， 3602180362 kk 的终边在下半平面。2
7、【名师指引】已知 所在象限，求 所在象限问题,一般都要分 n 种情况进行讨*()nN论【新题导练】1设 M小于 的角 ，N第一象限的角 ，则 （ ）90 MA、 锐角 B、 小于 的角 C、 第一象限的角 D、以上都不对解析：D 小于 的角是由锐角、零角及负角组成，第一象限的角包括锐角及其它终边0在第一象限的角，所以 是由锐角和终边在第一象限的负角组成的角2写出-720到 720之间与-1068终边相同的角的集合_解析: 372,148,703已知 ，判断 所在的象限|0()45kk解析： 在第一象限或第二象限 ，可设00|18()45kkA，若 ，则 ，若 ，0018()45,kkZA2kn
8、,nZ21kn则 故 在第一象限或第二象限23nn考点 2 弧度制与弧长公式题型 1:角度制与弧度制的互化例 3.（1）设 ，用弧度制表示它们，并指出它们各自所在的象限001257,（2）设 ，用角度制表示它们，并在 范围内找出与3 072它们有相同终边的所有角【解题思路】用互化公式.解析 （1） ， 在第二象限1955702866（ ） 1， 在第一象限222（2） ，与它终边相同的角可表示为 ，0033()155 038,kkZA由 得 ， ，768kA321k,1即在 范围内与 有相同终边的角是 01062,5同理 且在 范围内与 有相同终边的角是 024072206【名师指引】角度与弧
9、度进行互化，关键是对转化公式的理解和应用；判断一个角所在象限，关键是在 内找到与该角终边相同的角,)例 4设扇形的周长为 ，面积为 ，则扇形的圆心角的弧度数是 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 8cm24c【解题思路】用扇形面积和弧长公式.解析: 21()4,0,22 lSrrlr【名师指引】在扇形的弧长公式与弓形的面积公式中，所用到的角的单位是弧度，不是角度【新题导练】4 化为弧度为（ ） 03A、 B、 C、 D、537476解析B 0(0)185三角形三内角的比是 7815，各内角的弧度数分别是_解析：设三角形的三内角分别是 ，则 故7,815x7815x30x所以各内角
10、的弧度数分别是 ,302考点 3 三角函数的定义与三角函数的符号题型 1:判断三角函数值的符号例 5. 确定下列三角函数值的符号(1)cos250 （2）sin（ ） （3）tan（672） （4）tan 4 113【解题思路】 直接根据三角函数的符号法则确定。解：(1)250是第三象限角，cos2500(2) 是第四象限角，sin（ ）0 4 4(3)tan（672）tan（482360）tan48而 48是第一象限角，tan（672）0(4)tan tan（ 2 ）tan113 53 53而 是第四象限角，tan 0.53 113【名师指引】三角函数值的符号由角所在的象限确定题型 2:由三
11、角函数的定义求值例 6已知角 终边上一点 P 与 x 轴的距离和与 y 轴的距离之比为 34（且均不为零） ，求 2sin +cos 的值【解题思路】直接根据三角函数的定义求值.解析:若角 终边过点 ，则 ；3,4P2543cosin2若角 终边过点 ，则 ；s若角 终边过点 ，则 ；,csi若角 终边过点 ，则 34P52432osn2【名师指引】若点 是角 终边上异于原点的一点，求角 的三角函数值只需用定(,)xy义即可.【新题导练】6.(佛山市三水中 2010 届高三上学期期中考试)如图，角 的顶点原点 O，始边在 y 轴的正半轴、终边经过点 .角 的顶点在原点 O，始边在 x 轴的正半
12、轴，终边 OQ 落在第4,3(P二象限，且 ，则 的值为2tanQcosA B C D 551251解析：D7.(2009深圳市高三年级第一次调研考试)若 ，则点 位于（ ）02(cos,in)Q yP Q o xA.第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解析直接根据正弦函数、余弦函数在第四象限的符号判定.选 D抢 分 频 道 基础巩固训练1已知角 的终边上一点的坐标为 ，则角 的最小正角是（ ）2(sin,co)3A、 B、 C、 D、5623516解析D 角 在第四象限且 cstan23i2若 是第二象限的角，且 ，则 是（ ）|cos|A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角
13、 D、第四象限角解析 C 2,(), ,(),42kkZkkZ当 时， 在第一象限；当 时， 在第三象限；,()nZ1,n2而 ， 在第三象限；coscos0223 已知角 的终边与函数 决定的函数图象重合，求)(,15xyx= sinta1cos解析:在角 的终边上取点125(12,5)3,cos,tan,si13Pr故 =sinta1cos74.（湛江市实验中学 2010 届高三第四次月考）已知 ，且角 在第一象限，那么 235cos在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解析：B ， 故 2 在第二32254coskk424kk象限.5.( 2010 广东省佛山市普通高中高
14、三教学质量检测)如图 A、B 是单位圆 O 上的点，且 在第二象限. C 是圆与 轴正半轴的交点，A 点的Bx坐标为 ，AOB 为正三角形.34,5（1）求 ； sinC（2）求 . coB解析（1）因为 A 点的坐标为 ，根据三角函数定义可知34,5 4sin5COA（2）因为三角形 AOB 为正三角形，所以 ，06AOB， ， 所以 =4sin5CO3cos5cos0cs(6)00co6insiAC= . 3143521点评该考题主要考查三角函数定义与和差公式.综合拔高训练6.在扇形 中， ，弧 的长为 ，求此扇形内切圆的面积AOB90ABl解：设扇形 所在圆半径为 ，此扇形内切圆的半径为
15、 ，如Rr图所示，则有 ， 2RrA2Bl由此可得 (1)则内切圆的面积 228Srl7圆 弧 长 度 等 于 其 内 接 正 三 角 形 的 边 长 ， 求 其 圆 心 角 的 弧 度 数.解析： 如右图所示，设正三角形的边长为 ,半径为 ,取 的中点arBC.DO xyBAC34(,)5连接 则 ,ODBC,30,2,OCDar在 中,Rt.3,30cosr圆心角弧度数为,3a8如图，在平面直角坐标系 xoy 中，以 ox 轴为始边做两个锐角 ，它们的终边分别与,单位圆相交于 A、B 两点，已知 A、B 的横坐标分别为 52,10（1）求 的值； （2）求 的值。)tan(2【解析】：本小题考查三角函数的基本概念、三角函数的基本关系式、两角和的正切、二倍角的正切公式，考查运算求解能力。由条件得 25cos,cs10为锐角，、 7in,intan7,t2（1）17tant2t() 31（2） 22tan4ta113() 47tant23tan(2) 11为锐角，、 034 xyOABABCOD
