1、第一章综合检测 集合与函数概念一、选择题（本大题共 8 小题，每小 题 5 分，共 40 分）1.集合 20，M， |MxP，则下列关系中，正确的是( )A. ；B. ；C. ；D. P解析 D；由集合 的定义知，应选 D（注意：本题易错选 C）2.（2010年山东梁山二中）若 2,xaR是 的 真 子 集 ， 则实数 a的取值范围是（ ） A. 0,；B. ,；C. ,0；D. ,解析 B；由题意知，集合 Rax2不是空集，故实数 0a即其取值范围是,32010年重庆 南开中学）已知集合 1,0|cos,MNyxM，则集合 N的真子集个数为（ ）A3；B4；C7；D8解析B ；由题 意得 1
2、cos,N，所以 N 的真子集个数为 44. 下列判断正确的是（ ）A函数 2)(xf是奇函数； B函数 1()xfx是偶函数C函数 1f是非奇非偶函数 D函数 )(f既是奇函数又是偶函数解析 C；显然，函数 2)(xf的定义域为 ,2,，不关于原点对称，故排除 A；函数 1()fx的定义域为 )1,也不关于原点 对称，故排除 B；又函数1)(f不是奇函数，所以应选择 C5. （恩城中学 09 届高三上中段考）已知定义在正整数集上的函数 )(xf满足条件：()2f， ()f, (2)(1)(fnffn,则 209)f的值为（ ）A2；B2；C4；D4解析 B；由 )(xf的定义知， )(xf是
3、定义在正整数集上的周期为 6 的函数，故2536()09( ff6（08 年陕西）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息设定原信息为 012ia， ， （ 012i， ， ），传输信息为 012ha，其中 0102hah， ， 运算规则为： ， ， ，1，例如原信息为 111，则传输信息为 01111传输 信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ）A11010；B01100；C10111；D00011解析C ；假设传输 信息为“10111” ，那么 1210,hah， 的值分别为“1 ，0，1，1，1”这5 个数，据
4、题目条件必有 10ah； 20，这与1h矛盾，故此信息错误。7（07 年安徽）定义在 R 上的函数 )(xf既是奇函数，又是周期函数， T是它的一个正周期.若将方程 0)(xf在闭区间 T,上的根的个数记为 n，则 可能为（ ）A0；B1；C3；D5解析 D；特取 fsin)(， 2，则 0sinx在 2,上的根有 5 个。8. （广东南海中学 2010届模拟）函数 271)(nf的最小值为（ ）A. 10031004 B. 10041005 C. 20062007 D. 20052006解析 A ；根据绝对值的几何意 义， 2071)(nxf表示数轴上与数 x对应的点到数207,3,1对应的
5、点的距离之和，当此点 对应于数 1004 时 )(f取得最小值，为043)103()(min xf二、填空题：本大题共 7 小题，每小 题 5 分， 满分 30 分，其中 1315 题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分.9（韶关市田家炳中学 09 届测试）在实数集 R上定义运算 4:ba ，并定义：若 R存在元素 e使得对 Ra，有 ae，则 e称为 R上的零元，那么， 实数集上的零元 之值是 解析 4；根据 “零元”的定义， 4，故 410.设 PQ354567， ， ， ， ， ， ，定义 P Q QbPa，|),(，则PQ 中元素的个数为 .解析12；根据定 义，
6、Pa，故 有 13C种确定方法； b，故 有 14C种确定方法，所以PQ 中元素的个数为 214311（金山中学 2010届）已知函数 )(xfy是以 2 为周期的偶函数，且当 )1,0(x时，,1)(2xf则 )7(f的值_.解析 43；由 )(xfy是以 2 为周期的函数得 )2()4()27fff ，又)(xfy是偶函数，且当 1,0时， ,1)(2xf所以)2(1212设 R,ba,集合 ,0,baa则 的值是 解析 1；由 ， ， ， ， 可知 0，则 只能 0ab，则有以下对应关系 01ab或 1ab解得 1ab符合题意，无解，所以 ab选 做 题：在下面三道小题中选做两题，三题都
7、选的只计算前两题的得分。13 )(xf是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，且 0)2(f，则方程 0)(xf在区间（0，6）内解的个数的最小值是 解析4；因 )(xf是定义在 R 上的偶函数，故 0)2(ff，又知 3 为 )(xf的一个周期，所以 0)2(3(14f， 025，所以区间（0，6）内 0)(xf的解的个数的最小值为 414设 是定义在 R 上的奇函数，且 )(xfy的图象关于直 线 21x对称，则)5(4)3(2)1(fff解析0；由 xy的图象关于直 线 21x对称得 )1()xff，又 )(f是定义在R 上的奇函数，故 )(1(ff，从而 (f，故 135)2(4ff
8、，又 0)， 0)(1f所以 )5(43(1ff15. 若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“ 同族函数”,那么函数解析式为 y=x2，值域为0,4的“同族函数” 共有_个.解析3 个；显 然，定义域可为 2,0,三、解答题：( 本大题共 6 小题,共 80 分,解答时应写出文字 说明、 证明过程或演算步骤)16(本题满 分 13 分) （高州中学 09 届模拟）设全集 UR，集合2|60Ax，集合 21|3xB() 求集合 A与 ； ()求 AB、().CU解析() 22,60xx，不等式的解为 3， |32 4 分14,1,34xxx即 或，|B或 7 分()
9、由()可知 |32A， |Bx或 ，10 分|UCx或， ()|32.UCAx或 13 分17.（13 分）已知集合 Ax| x23x100，B x | m 1x2m1，若 AB 且 B，求实数 m 的取值范围。解析 A=x| x 23x 100=x| 2x5, 2 分 如图：若 AB 且 B, 则 125m， 7 分解得 2m3 13 分 实数 m 的取值范围是 m2, 3 . 13 分18.(14 分 ) 已知函数 y=f(x)= cba12(a,b,cR,a0,b0) 是奇函数，当 x0 时，f(x )有最小值 2，其中 bN 且 f(1)0,b0,x0,f(x)= xa122 ba，
10、6 分当且仅当 x= a1时等号成立，于是 2 =2,a=b2, 8 分由 f(1) 25得 b 即 b1 5, 10 分2b25b+2 0,解得 b2， 12 分又 bN,b=1,a=1,f(x)=x+ 1. 14 分19. （高州中学 09 届模拟 14 分）已知函数 )(xfy，若存在 00)(xf， 使 得 ，则称是函数 )(xfy的一个不 动点， 设 .723f（）求函数 的不动点；（）对（）中的二个不动点 a、b（假设 ），求使 bxakf)( 5 1 洲 0恒成立的常数 k的值；解：（）设函数 3217-23,)( 00000 xxxxfy ， 解 得则的 不 动 点 为 7 分
11、（）由（）可知 218421731,3 xxxba，可知使 kxf)(恒成立的常数 k. 14 分20（14 分）设函数 是定义在 1，0)(0， 上的奇函数，当 x 1，0)时， )(xf=21xa.(1) 求当 x(0， 时， )(xf的表达式；(2) 若 a-1，判断 在(0， 1上的单调性，并证明你的结论.解析(1)设 x(0， ，则 )0，x，2 分所以 f(-x)= 2a，4 分又因为 f(-x)=-f(x)，所以 f(x)= 1xx(0， . 6 分 (2) x(0， 1时，f(x)= 2， 3 2)(af， 10 分x3(0， ， 3， 12 分又 a-1，所以 2xa0，即
12、0)(xf，所以 f(x)在(0， 1上递增. 14 分21. (12 分)若函数 y=f(x)是周期为 2 的偶函数,当 x2,3时,f(x)=x 1.在 y=f(x)的图象上有两点 A、B,它们的纵坐标相等,横坐标都在区间1,3上,定点 C 的坐标为(0,a)(其中2a3),(1) 求当 x1,2时,f(x) 的解析式;(2) 定点 C 的坐 标为(0,a)( 其中 2a3),求 ABC 面积的最大值.解:析(1)f(x)是以 2 为周期的周期函数 ,当 x2,3时,f(x)=x1, 当 x0,1时,f(x)=f(x+2)=(x+2)1=x+1. 1 分f(x)是偶函数,当 x1,0时,f(x)=f(x)=x+1, 2 分当 x1,2时,f(x)=f(x2)= (x2)+1= x+3. 4 分(2)设 A、B 的横坐标分别为 3t,t+1,1t2,则|AB|=(t+1)(3t)=2t2, 6 分ABC 的面积为 S= 21(2t 2)(at)= t 2+(a+1)ta(1t2)=(t 21a)2+ .41a2a3, 3 a2.当 t= a时,S 最大值 = .41a12 分
