1、例 谈 绝 对 值 与 最 值山西 耿京娟对绝对值概念有几何、代数两种描述方法.其中几何方法的描述是:|x|是在数轴上表示数 x 的点与原点的距离.据此,我们可以略加推广:|x-a|指在数轴上表示数 x 的点与表示数 a 的点的距离.下面举例说明其应用.一利用几何方法求最值例 1 已知 y=|x-2|-|x-5|,求 y 的最大值与最小值.分析 此题常见的方法是根据 x 的取值范围,去绝对值,然后分别讨论求出最大值、最小值.但根据绝对值几何意义解,那就容易多了.解 设数轴上表示数 2、5、x 的点分别为 A、B、C.C 可在数轴上移动,那么 y=|x-2|-|x-5|=AC-BC,如图 1,当
2、 C 点在 B 点右边时,AC-BC=AB=5-2=3；图 1当 C 点在 A 点左边时（如 C1处），AC-BC=-AB=-3；当 C 点在线段 AB 上（包括 A、B 点）（如在 C2处）时，-3AC-BC3.综上所述,y 的最大值为 3,最小值为-3.例 2 已知 y=|x-2|+|x-1|,求 y 的最小值.图 2解 设数轴上表示数 2、1 和的点分别为 A、B、C，则 y=|x-2|+|x-1|=AC+BC(如图 2），当 C 点在 A 点右边时，AC+BCAB，即 y1.当 C 点在 B 点左边时（如在 C1处），AC+BCAB，即 y1.当 C 点在线段 AB 上（包括 A、B
3、点）（如在 C2处）时，y=AC+BC=AB=1,综上所述 y1,y 的最小值为 1.通过上述两题,我们知道,利用绝对值几何意义解决此类问题,显得直观又简单,同时我们还能得出一些有用的结论:如果 y=|x-a|-|x-b|,那么 y 有最大值|a-b|,最小值-|a-b|.如果 y=|x-a|+|x-b|,那么 y 有最小值|a-b|,无最大值.并且还求出最大值,最小值时对应的 x 值的范围.二利用界点分段法求最值例 3.求代数式x-1+x-2+x-3的最小值分析：根据上题很容易找到三个分界点是 x=1、2、3，这样将数轴分成四部分，xx123， ， ， ， 然 后 分 段 讨 论 。解：这里
4、有三个分界点：1、2、3当时，原式（x）（）（）这时时有最小值当时，原式x（）（）这时时有最小值当时，原式x（）（） 这时没有最小值当时，原式x 这时没有最小值综合以上几种情况，原式的最小值是 2。说明：形如|x-a 1|+|x-a2|+|x-an|n 个绝对值的代数和其最小值的一般规律是：当 n 为奇数时取中间分界点 x 取值能取得最小值，当 n 为偶数时取中间两个分界点 x 的取值或中间两个分界点之间的任意实数，如求|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|的最小值。因为有奇数个分界点，所以当 x 取中间界点-3 时有最小值 6，如求|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x
5、+4| 的最小值，因为有 偶 数 个 分 界 点 ， 所 以 时 有 最 小 值 。324x例 4 已知 y=|2x+6|-4|x+1|+|x-1|，求 y 的最大值。分析：首先，对式子|2x+6|4|x+1| |x-1|分段讨论后化简，然后分别求出各段中 y 的最大值，再加以比较可得。解：找分界点，得 x=3，1，1当 时 ，xyxx26411()()()x3 时，的最小值为当 时 ，1264151yxx()()()35x的最大值为当 时 ， 126413yxx()()() 这时没有最大值当1 时,y=()（）（）1 1当1 时，没有最大值综上所述：y 的最大值是 6课堂练习 1.已知 y=|x+5|-|x-1|,求 y 的最大值,最小值.(答:最大值 6,最小值-6)2.已知 y=|x-2|+|x-6|,求 y 的最小值.(答:8)
