1、第三章 恒定电流的电场和磁场,3.1 恒定电流的电场,主要内容,电流密度J（重点）电流连续性原理恒定电流场的基本方程（重点）欧姆定律、焦耳定律的微分形式恒定电流场的边界条件静电比拟法（难点）,学习目的,掌握恒定电流场与静电场的区别和联系掌握电流密度J的定义及物理意义，其与电流强度I的关系利用恒定电流场的本构关系和静电场基本知识求解恒定电流场问题：接地电阻、漏电电导等。,一. 电流密度,电流的分类,传导电流： 导体中的自由电子或者电解液中的离子在电场作用下定向运 动形成的电流。,运流电流： 电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成的电流。,恒定电流：电荷是运动的，但是任意点的电荷分布不随时
2、间而变化。由恒定电流形成的电场称为恒定电场。,电流强度：单位时间内穿过某一截面的电荷量，又简称为电流，以 I 表示，单位为A（安培）。因此，电流 I 与电荷 q 的关系为,电流密度：是一个矢量，以 J 表示。电流密度的方向为正电荷的运动方向，其大小为单位时间内垂直穿过单位面积的电荷量。,那么，穿过任一截面 S 的电流 I 为,此式表明，穿过某一截面的电流等于穿过该截面电流密度的通量。,S,如下图所示，t时间内通过截面S的电量为,垂直通过横截面的电流I为,则电流密度J为,电流I与电流密度J的关系：（1）J为体电流密度，且为I的偏导；I为J的积分。（2）I描述导线内总电流的强弱，J描述导线内某点的
3、电流强弱。,二. 电流连续性原理,电荷守恒定律： 电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移的过程中，电荷的总量保持不变。,由电荷守恒定律知：通过任意封闭曲面S流出的电流等于以S为边界的体积V内单位时间减少的电荷量。,即,根据高斯定理，求得,电流连续性原理的积分形式,电流连续性原理的微分形式,已知恒定电流场中的电荷分布与时间无关，即 ，由此得,此式表明，在恒定电流场中电流线是连续闭合的。恒定电流场是无散场。,三. 欧姆定律的微分形式,由欧姆定律积分形式：,由于,对于横截面均匀的导体,代入欧姆定律积分形式可得：,在外源的作用下，大多数
4、导电媒质中某点的传导电流密度 J 与该点的电场强度 E 成正比，即,式中 称为电导率，其单位为 S/m 。 值愈大表明导电能力愈强。,欧姆定律的微分形式,电导率为无限大的导体称为理想导电体。,电导率为零的媒质，不具有导电能力，这种媒质称为理想介质。,常用材料的电导率,四. 恒定电流场的基本方程,恒定电流场的环路定理与静电场相同,由,归纳恒定电流场的基本方程如下：,与静电场的讨论类似，由 可引入恒定电场的电位函数,五. 恒定电流场的边界条件,由电流连续性方程 得出,或,导电媒质中恒定电流场的边界条件为,由环路定理 得出,或,恒定电流场电流密度的切向分量满足,由此可见，在两种导电媒质的边界上，电流
5、密度矢量的切向分量是不连续的，但其法向分量连续。,可以推导得出电位 满足的边界条件为,夹角 满足的边界条件为,推论： 若其中一种导电媒质为良导体时，电力线在分界面处近似与界面平行，而在不良导体中，电力线近似与界面垂直。,六. 恒定电流场的能量损耗,设在恒定电流场中，沿电流方向取一个长度为 dl，端面为 dS 的小圆柱体，如图所示。若在电场力作用下，d t 时间内有 d q电荷自圆柱的左端面移至右端面，那么电场力作的功为,电场损失的功率 P 为,焦耳定律的微分形式,那么，单位体积中的功率损失即热功率密度为,设圆柱体两端的电位差为U，则 ，又知 ，那么单位体积中的功率损失可表示为,可见，圆柱体中的
6、总功率损失为,七. 恒定电流场与静电场的比拟,根据这种类似性，当某一特定的静电问题的解已知时，与其对应的恒定电流场的解可以通过对偶量的代换直接得出；或者由于在某些情况下，恒定电流场容易实现且便于测量时，可通过对偶量的代换来研究静电场的特性，这种方法称为静电比拟法。,例如，已知面积为 S ，间距为 d 的平板电容器的电容 ，若填充的非理想介质的电导率为 ，则平板电容器极板间的漏电导为,又知单位长度内同轴线的电容 。那么，若同轴线的填充介质具有的电导率为 ，则单位长度内同轴线的漏电导,【例1】同轴线内外导体半径分别为a和b,其间填充介质的电导 率为 ，内外导体间的电压为U。求：同轴线单位长度的 漏
7、电电导；同轴线单位长度的功率损耗。【教材例3-1】,【解】：设同轴线由内到外导体单位长度的漏电流为 ，则在半径为r处的 电流密度大小为,同轴线单位长度的漏电电导为,由于,故同轴线单位长度的功率损耗为,【例2】一半球形接地金属球，半径为a,大地电导率为 ，求 接地电阻。【教材例3-3】,【解】：方法一：利用公式,设接地电流为 ，则大地中的电流密度为,大地中的场强为,接地电阻表面的电位,接地电阻为,方法二：利用静电比拟法 CG R,设金属球带电量为q，由高斯定理得,金属球的表面电位为,金属球与地的电容为,由静电比拟法可得漏电电导为,接地电阻为,【例3】 已知一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如
8、图示。其介电常数分别为 1 和 2 ，电导率分别为 1 和 2 ，厚度分别为 d1 和 d2 。当外加恒定电压为 U 时，试求（1）两层介质中的电场强度；（2）单位体积中的电场储能及功率损耗。 （3）介质分界面上的自由电荷密度。,【解】（1） 由于电容器外不存在电流，可以认为电容器中的电流线与边界垂直，由边界条件,又,由此求出两种介质中的电场强度分别为,得,由于,（3）由边界条件,介质分界面 上的自由电荷,（2）两种介质中电场储能密度分别为,两种介质中单位体积的功率损耗分别为,内容小结,电流密度,电流连续性原理,由欧姆定律微分形式：,恒定电流场的基本方程,恒定电场的边界条件为,焦耳定律,微分形式,积分形式,恒定电流场与静电场的静电比拟法中的对偶量,作业：P84 3-1 、3-2、3-3,
