1、微积分方法建模数学建模案例分析3 存贮模型工厂要定期地订购各种原料，商店要成批地购进各种商品，小库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和航运不论是原料、商品还是水的贮存，都有一个贮存多少的问题。原料、商品存得太多，贮存费用高，存得少了则无法满足需求。水库蓄水过量可能危及安全，蓄水太少又不够用。我们的目的是制订最优存贮策略，即多长时间订一次货，每次订多少货。才能使总费用最小。模型一 不允许缺货的存贮模型模型假设： 1、每次订货费为 ，每天每吨货物贮存费 为已知；1C2C2、每天的货物需求量 吨为已知；r3、订货周期为 天，每次订货 吨，当贮存量降到零时订货立即到达。TQ模型建立： 订货周期 ，订货量 与每
2、天需求量 之间满足rr订货后贮存量 由 均匀地下降，即 。)(tqQrtQtq)(Art2T一个订货周期总费用 rTCQdtqC0 22211)(贮 存 费订 货 费即 21rT）（一个订货周期平均每天的费用 应为)(rTCTC21问题归结为求 使 最小。T)(模型求解： 令 ，不难求得0d0微积分方法建模数学建模案例分析21rCT从而 （经济订货批量公式，简称 公式）21QEOQ模型分析： 若记每吨货物的价格为 ，则一周期的总费用 中应添加 ，由于 ，故kCkrT中添加一常数项 ，求解结果没有影响，说明货物本身的价格可不考虑。Cr从结果看， 越高，需求量 越大， 应越大； 越高， 越小，这些
3、关系当然符合常识的，1Q2Q不过公式在定量上的平方根关系却是凭常识无法得到的。模型二 允许缺货的存贮模型模型假设： 1，2 同上3、订货周期为 天，订货量 吨，允许缺货，每天每吨货物缺货费 为已知。TQ3C模型建立： 缺货时贮存量 视作负值， 的图形如下，货物在 时售完。于是 。q)(t 1Tt1rTQQrA2TT一个订货周期内总费用 T QrTCTrdtqCQ11 232133022 )()(|)(|缺 货 费贮 存 费订 货 费即 32),(Q一个订货周期平均每天的费用 应为,TrTQCrC2)()(),( 3210 B1 t微积分方法建模数学建模案例分析模型求解： 0QCT可以求出 的最
4、优值，分别记作 和 ，有QT, 321321, CrCr 模型分析：若记 ，则与模型一相比有32C， TQ显见 ，即允许缺货时应增大订贷周期，减少订贷批量；当缺货费 相对QT, 3C于贮存费 而言越大时， 越小， 和 越接近 和 。2CT问题 1、在模型一和模型二中的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优订货周期和订货批量。证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在模型二中最优订货周期和订货批量都比原来的结果减少。2、建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数 ，销售速率为常数 ，kr在每个生产周期 内，开始的一段时间 一边生产一边销售，后来的rk.T)0(0Tt一段时间 只销售不生产。贮存量 的变化如图，设每次生产开工费用为)(0tq，单位时间每件产品贮存费为 ，以总费用最小为准则确定最优周期 。1C2CTq0 t0TT
