1、3 7泰勒公式 在实际问题中 往往希望用一些简单的函数来近似代替复杂的函数 设在处可导 由微分得 而多项式函数就是最简单的一类初等函数 我们首先考虑函数在一点附近的多项式逼近 令 则 3 1 式可简写为 3 2 式可以理解为 即 问题 为什么在点附近用而不用其它的一次多项式作为的近似 由 3 2 式 有 如果在点可导 则在点附近可用一次多项式来近似 对于任意的的一次多项式 如果 则有 于是 上式说明 在点附近用作为的近似 其近似度在所有一次多项式中是最高的 当比较复杂时 这种一次多项式的近似往往不能满足计算精度的要求 应该考虑用高次多项式来近似 猜测 当存在时 存在的n次多项式 满足 于是有
2、用定义求导数得 3 3 式称为在处的n阶泰勒多项式 定理3 13设存在 称为皮亚诺型余项 则 泰勒多项式 其中为在关于的n阶 3 4 式可写成 其中 3 4 式称为带皮亚诺型余项的n阶泰勒公式 例1设函数 证明 当k为奇数时 不是的极值点 当k为偶数 且时 是的极 时 是的极大值点 小值点 证由泰勒公式有 即 因此当k为奇数时 不是的极值点 当k为偶数 且时 是的极小点 是的极大点 定理3 14 泰勒中值定理 那么 使得 其中 称为拉格朗日型余项 如果公式 3 5 变成 其中 3 7 式称为f x 的n阶麦克劳林多项式 3 8 式称为 则 f x 的带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式 而 误差估计式为 称为f x 的带皮亚诺型余项的n阶麦克劳林公式 麦克劳林公式的用法 解 代入公式 得 例2求的n阶麦克劳林公式 于是 注意到 估计误差 其误差 取 常用函数的麦克劳林公式 解 例3将 的多项式 例4设在闭区间 a b 上具有二阶导数 且 则在区间 a b 内至少存在一点 使 证利用泰勒公式 两式相减 得 于是 因此 例5设在闭区间上三次可微 且 证明 至少存在一点 使得 证利用泰勒公式 两式相减 得 例6证明不等式 的三阶麦克劳林公式为 证 其中 故 解 例7计算
