1、第九节 曲率,一、弧微分,二、曲率及其计算公式,三、曲率圆与曲率半径,四、小结、思考题,一、弧微分,规定：,如图，,于是，,弧微分公式,二、曲率及其计算公式,曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量,),),弧段弯曲程度 越大转角越大,转角相同弧段越 短弯曲程度越大,1、曲率的定义,),),（,设曲线C是光滑的，,（,定义,曲线C在点M处的曲率,注意:,(1) 直线的曲率处处为零;,(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.,解: 如图所示 ,可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;,R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .,2、曲率的计算公式,有曲率近似
2、计算公式,例2,解,显然,例3,证,如图,在缓冲段上,实际要求,例4. 求椭圆,在何处曲率最大?,解:,故曲率为,K 最大,最小,求驻点:,设,从而 K 取最大值 .,这说明椭圆在点,处曲率,计算驻点处的函数值:,最大.,三、曲率圆与曲率半径,定义,1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.,注意:,2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).,3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).,例5. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用 砂轮磨削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?,解: 设椭圆方程为,由例3可知, 椭圆在,处曲率最大 ,即曲率半径最小, 且为,显然, 砂轮半径不超过,时, 才不会产生过量磨损 ,或有的地方磨不到的问题.,例6,解,如图,受力分析,视飞行员在点o作匀速圆周运动,O点处抛物线轨道的曲率半径,得曲率为,曲率半径为,即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.,四、小结,运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支微分几何学.,基本概念: 弧微分,曲率,曲率圆.,曲线弯曲程度的描述曲率;,曲线弧的近似代替曲率圆(弧).,练 习 题,练习题答案,
