1、 中小学个性化辅导专家1巨人教育辅导讲义学员编号（卡号）： 年 级： 第 次课学员姓名： 辅导科目： 教师：课 题 3.2 三角形教学内容321 三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图3.2-1 ，在三角形 中，有三条边 ，三个角 ，三个顶点 ，在三角形中，ABCV,ABC,ABC,ABC角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知 D
2、、 E、 F分别为 三边 BC、 CA、 AB的中点，ABCV求证 AD、 BE、 CF交于一点，且都被该点分成2：1.证明 连结 DE，设 AD、 BE交于点 G，D、 E分别为 BC、 AE的中点，则 DE/AB，且 ，Q12DEAB= ，且相似比为1：2，GVAB.,E=设 AD、 CF交于点 ，同理可得， 2,2.AGDCGF=则 与 重合，AD、 BE、 CF交于一点，且都被该点分成 . :1三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）图3.2-1 图3.2-2 图3.2-3图3.2-4图3.2-5中小学
3、个性化辅导专家2例2 已知 的三边长分别为 ，ABCV,BCaAbBc=I为 的内心，且I在 的边 上V、 、的射影分别为 ，求证： .DEF、 、 2aEF+-证明 作 的内切圆，则 分别、 、为内切圆在三边上的切点，为圆的从同一点作的两条切线， ，,AQA=同理， BD=BF， CD=CE.2bcaFBAECBDE+-+-即 .cA-例3若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知 O为三角形 ABC的重心和内心.求证 三角形 ABC为等边三角形.证明 如图，连 AO并延长交 BC于 D.O为三角形的内心，故 AD平分 ，QBAC（角平分线性质定理）ABCD=O为三角形的
4、重心， D为 BC的中点，即 BD=DC.，即 .1AAC同理可得， AB=BC.为等边三角形.BV三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）例4 求证：三角形的三条高交于一点.已知 中， AD与 BE交于 H点.ABCV,DBEAC于 于 ，图3.2-6图3.2-7图3.2-8图3.2-9中小学个性化辅导专家3求证 .CHAB证明 以 CH为直径作圆，, 90,oDEDCHE=Q在以 CH为直径的圆上，、.FCB=同理， E、 D在以 AB为直径的圆上，可得 .
5、BAD=，HA又 与 有公共角 ， ，即 .V90oCF CHAB过不共线的三点 A、 B、 C有且只有一个圆，该圆是三角形 ABC的外接圆，圆心 O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.练习11求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.2 （1） 若三角形 ABC的面积为 S，且三边长分别为 ，abc、 、则三角形的内切圆的半径是_;（2）若直角三角形的三边长分别为 （其中 为斜边长），abc、 、则三角形的内切圆的半径是_. 并请说明理由.中小学个性化辅导专家43.2.2 几种特殊的三角形等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一
6、.因而在等腰三角形 ABC中，三角形的内心 I、重心 G、垂心 H必然在一条直线上.例5 在 中， 求ABC:3,2.ABC（1） 的面积 及 边上的高 ；BCS:E（2） 的内切圆的半径 ；r（3） 的外接圆的半径 .:R解 （1）如图，作 于 .AD为 的中点，,AB22,1.ABCDS:又 解得 .,2E: 43B（2）如图， 为内心，则 到三边的距离均为 ，IIr连 ， ,IABC，IIBIACSS:即 ，1122rr解得 .r（3） 是等腰三角形，ABC:外心 在 上，连 ，OD则 中，Rt ,R22,OBD解得22()1,9.8在直角三角形 ABC中， 为直角，垂心为直角顶点A，
7、外心 O为斜边 BC的中点，内心I在三角形的内部，且内切圆的半径为 （2bca+-其中 分别为三角形的三边 BC,CA,AB的长），为什么？,abc该直角三角形的三边长满足勾股定理： .22ACB+=图3.2-10图3.2-13图3.2-11图3.2-12中小学个性化辅导专家5例6 如图，在 中， AB=AC， P为 BC上任意一点.ABCV求证： .2P-证明：过 A作 于 D.在 中， .Rt22在 中， .=-222()().BABPBD-+-.,ACC=Q.DPP-=.2B正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.例7 已知等边三角
8、形 ABC和点 P，设点 P到三边 AB， AC， BC的距离分别为 ，123,h三角形 ABC的高为 ，“若点 P在一边 BC上，此时 ，可得结论： .”h30h=h+=请直接应用以上信息解决下列问题：当（1）点 P在 内（如图b），（2）点在 外(如图c)，这两种情况时，上述结论是否还ABCVABCV成 立？若成立，请给予证明；若不成立， 与 之间有什123,h么样的关系，请给出你的猜想（不必证明）.解 （1）当点 P在 内时，法一 如图，过 P作 分别交 于 ，BC,AMC,B由题设知 ，AMDE=+而 ，F-故 ，即 .123hh+=图3.2-14图3.2-15图3.2-16中小学个性
9、化辅导专家6法二 如图，连结，ABCPACPBSS=+VVQ，111222MDECPF+又 ，即 .DEF=+123hh=（2）当点 P在 外如图位置时， 不成立，ABCV123h+猜想： .123h-注意：当点 P在 外的其它位置时，还有可能得到其它的结论，如， （如图3.2-18，想一想为什么？）等.123-+=123hh-=在解决上述问题时，“法一”中运用了化归的数学思想方法，“法二”中灵活地运用了面积的方法.练习21直角三角形的三边长为3，4， ,则 _.x=2等腰三角形有两个内角的和是100，则它的顶角的大小是_.3满足下列条件的 ，不是直角三角形的是（ ）ABCVA B 22bac
10、=- AB=-C D :3:45:12:35abc4已知直角三角形的周长为 ，斜边上的中线的长为1，求这个三角形的面积.5证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量.图3.2-17图3.2-18中小学个性化辅导专家7习题3.2A组1已知：在 中， AB=AC， 为 BC边上的高，则下列结论中，正确的是（）ABC:120,oBCDA B C D32DDAB2B2三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为（ ）A6 B4.5 C2.4 D83如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_.4已知： 是 的三条边， ，那么 的取值范围是_。,abcA:
11、7,10abc5若三角形的三边长分别为 ，且 是整数，则 的值是_。18、 aB组1如图3.2-19，等边 的周长为12， CD是边 AB上的中线， E是 CB延长线上ABC:一点，且 BD=BE，则 的周长为（）DEA B 6431823C D242如图3.2-20，在 中， ， BD是边 AC上的高，求AB:2CAB的度数。3如图3.2-21， 是 AB的中点， AM=AN， MN/AC，求证： MN=AC。,90,oRtABCM: 图3.2-20 图3.2-19图3.2-21中小学个性化辅导专家84如图3.2-22，在 中， AD平分 ， AB+BD=AC.求 的值。ABC:BAC:BC
12、5如图3.2-23，在正方形 ABCD中， F为 DC的中点， E为 BC上一点，且 ，求证： .14ECB=90oEA=C组1已知 ，则以 为边的三角形是（ 24,2,1kbackabc、）A等边三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D形状无法确定2如图3.2-24，把 纸片沿 DE折叠，当点 A落在四边形 BCDE内部时，则AB:与 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规12律，你发现的规律是（）A B 12C D33()3如图3.2-25，已知 BD是等腰三角形 ABC底角平分线，且 AB=BC+CD，求证：.90oC=图3.2-22图3.2-23图3.2-25图3.2-24中
13、小学个性化辅导专家94如图3.2-26，在等腰 中 ， D是斜边 AB上任一点，RtABC:90o于 E， 交 CD的延长线于 F， 于 H，交AADFCBE于 G.求证： BD=CG.3.2 三角形练习1、1证略 2.（1） ；（2） .Sabcabc练习2、15或 2. 或 3.C 70o84设两直角边长为 ，斜边长为2，则 ，且 ，解得 ，, 13ab24ab3ab. 5.可利用面积证.32Sab习题3.2 A组1B 2. D 3. 4. 5.820o7cB组1A 2. ，3连 ，证 .8oBMAN:4在 AC上取点 E，使 AE=AB，则 ， .又 BD=DE=EC，EDBAED,:2:1.CC5可证 ，因而 与 互余，得 .DFFC90oFAC组1C不妨设 ，可得 ，为直角三角形.2Bac222,1,kcabc图3.2-26中小学个性化辅导专家103在 AB上取 E使 BE=BC，则 ，且 AE=ED=DC，BCDE:2180,90.ooCBDA4先 证明 ，得 CE=BF，再证 ，得 BD=CG.F:GBDF:
