1、1 第二章命题逻辑等值演算2 3联结词的完备集 2 五个基本的联结词 在实际应用中 如数字逻辑电路 可由五个基本的联结词 产生更多的联结词 1 异或 2 条件否定 3 与非 4 或非 3 设p q为二命题 复合命题 p q之中恰有一个成立 称为p与q的异或式或排斥或式 记作p q 称作异或联结词 易见 1 p q p q p q p q 2 p q为真当且仅当p q中恰有一个为真 异或联结词 的性质 1 p q 2 p q r 3 p q r 4 p p 5 p 0 6 p 1 定义异或联结词 异或联结词 的性质 1 p q q p 2 p q r p q r 3 p q r p q p r
2、4 p p 0 5 p 0 p 6 p 1 p 4 设p q r为三命题 若p q r 则p r q q r p且p q r 0 思考题 5 定义蕴涵否定联结词 设p q为二命题 复合命题 p q的否定 称为命题p和q的蕴涵 条件 否定式 记作 称为蕴涵 条件 否定联结词 由定义知 1 2 为真当且仅当p为真q为假 6 设p q为二命题 复合命题 p与q的否定 称为p与q的与非式 记作p q 称作与非联结词 易见 1 p q p q 2 p q为真当且仅当p与q不同时为真 与非联结词 的性质 1 p p p p p 2 p q p q p q p q 3 p p q q p q p q p q
3、 定义与非联结词 与非联结词 的性质 1 p p 2 p q p q 3 p p q q 7 设p q为二命题 复合命题 p或q的否定 称为p与q的或非式 记作p q 称作或非联结词 易见 1 p q p q 2 p q为真当且仅当p与q同时为假 或非联结词 的性质 1 p p 2 p q p q 3 p p q q 定义或非联结词 或非联结词 的性质 1 p p p p p 2 p q p q p q p q 3 p p q q p q p q p q 8 联结词完备集 定义 一个联结词集合 若对于任何一个公式均可以用该集合中的联结词来表示或等值表示 就称为联结词完备集 如果该集合任意去掉一
4、个联结词 就不再具备这种特性 就称为最小完备集 定理 是联结词完备集 推论 等都是联结词完备集 9 因为p q p q p q p q p q p qp q p q 定理 是联结词完备集 并且是最小联结词完备集 P39 推论 是联结词完备集 并且是最小联结词完备集 推论 是联结词完备集 并且是最小联结词完备集 10 思考题 定义如表所示的二元逻辑联结词 1 证明 是联结词完备集 2 请利用该联结词 表示下述公式 p q r 11 数字逻辑电路 命题逻辑的应用 12 门电路 为了方便电路逻辑设计的需要 现将命题逻辑联结词相对应的门电路汇总于下图 13 例1设计一个控制楼梯照明的电路 使得分别装在
5、楼梯上下两层的两只开关都能控制照明 写出控制电路的逻辑表达式并设计电路图 解 两只开关的状态分别表示为s1 s2 0 表示开关断开 1 表示开关接通 用S表示楼梯的照明状态 1 表示灯亮 0 表示灯灭 S s1 s2 s1 s2 s1 s2电路图如下 14 例2一家航空公司为了保障安全 用计算机复核飞行计划 每台计算机能给出飞行计划正确或有误的回答 由于计算机也可能发生故障 因此采用了三台计算机同时复核 再根据 少数服从多数 的原则作出判断 假设三台计算机中同时有一台以上的计算机出现故障的概率为0 试将判断结果用命题公式表示 并设计一个尽可能简单的电路图 解 设p q r分别表示三台计算机的答
6、案 S表示判断结果 0 表示飞行计划有误 1 表示飞行计划正确 S p q r p q r p q r p q r q r p r p q 电路图如下 15 例3有一种电子锁 锁上共有三个键A B和C 当三键同时按下 或A B两键同时按下 或只有A B其中之一按下时 锁被打开 设计该电子锁的控制电路的公式并画出电路图 解 用 0 表示键未按下 1 表示键按下 G表示锁的状态 1 表示打开 0 表示未打开 则G A B C A B C A B C A B C A B A B C A B C A B B C A B C A B C A B C A B A C A B C A B A B C A B A C B C 16 G A B A C B C 电子锁控制电路图如下 17 课后练习有一会议室 四周都有出入口 门旁装有开关 为了控制全室的照明 要求设计一个线路 使得改变任一只开关的状态 就能改变会议室的明暗 假设 室中无人时灯全灭 有人时等亮 写出控制电路的逻辑表达式并设计电路图
