1、2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 1 多元函数的极限与连续性 二重极限累次极限 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 2 与一元函数的极限相类似 二元函数的极限 同样是二元函数微积分的基础 但因自变量个数 的增多 导致多元函数的极限有重极限与累次极 限两种形式 而累次极限是一元函数情形下所不 会出现的 返回 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 3 一 二重极限 时 都有 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 4 常写作 例1依定义验证 证因为 简记为 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 5 不妨先限制在点 2 1 的方邻域 内来讨论 于是有 20
2、07年8月 南京航空航天大学理学院数学系 6 当 时 就有 这就证得 所以 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 7 例2设 证明 证 证法一 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 8 可知 故 注意不要把上面的估计式错写成 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 9 而并不要求 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 10 都有 下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归 结原则 而且证明方法也相类似 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 11 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 12 下面三个例子是它们的应用 存在极限 注 本题结论很重要 以后
3、常会用到 解当动点 x y 沿着直线而趋于定点 0 0 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 13 这说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时 对应 的极限值不相同 因而所讨论的极限不存在 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 14 如图16 15所示 当 x y 沿任何直线趋于原点时 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 15 时的极限为0 因为当 x y 沿抛物线 存在极限 解利用定理1的推论2 需要找出两条路径 沿 的极限 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 16 分母化为同阶的无穷小 导致极限不为0 按此思路 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系
4、17 这就达到了预期的目的 非正常极限 的定义 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 18 或 仿此可类似地定义 证此函数的图象见后面的图 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 19 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 20 这就证得结果 二元函数极限的四则法则与一元函数极限相仿 特 同 这里不再一一叙述 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 21 不存在 观察 播放 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 22 二 累次极限 极限 下面要考察x与y依一定的先后顺序 相继趋 定义3 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 23 如果进一步还存在极限
5、 累次极限 记作 它一般与y有关 记作 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 24 类似地可以定义先对y后对x的累次极限 注累次极限与重极限是两个不同的概念 两者之间 没有蕴涵关系 下面三个例子将说明这一点 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 25 从而又有 同理可得 这说明f的两个累次极限都存在而且相等 累次极限分别为 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 26 诉我们 这个结果是必然的 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 27 个累次极限都不存在 这是因为对任何 时 f的第二项不存在极限 同理 f的第一 项当时也不存在极限 但是由于 故按定义知道时f的重
6、极限存在 且 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 28 下述定理告诉我们 重极限与累次极限在一定条件 下也是有联系的 定理2若f x y 的重极限与 证设 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 29 的x 存在极限 另由存在累次极限之假设 对任一满足不等式 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 30 由这个定理立即导出如下两个便于应用的推论 都存在 则三者必定相等 推论2若累次极限 不存在 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 31 请注意 i 定理2保证了在重极限与一个累次 极限都存在时 它们必相等 但对另一个累次极限的 存在性却得不出什么结论 ii 推论1
7、给出了累次极限次序可交换的一个充分 条件 iii 推论2可被用来否定重极限的存在性 如例8 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 32 例10设 试证明 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 33 证 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 34 根据柯西准则 证得 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 35 又有 这就证得 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 36 注本例给出了二累次极限相等的又一充分条件 与 定理16 6的推论1相比较 在这里的条件 i 与 ii 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 37 复习思考题 试问累次极限 是否就是动
8、点 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 38 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 39 不存在 观察 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 40 观察 不存在 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 41 观察 不存在 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 42 观察 不存在 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 43 观察 不存在 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 44 观察 不存在 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 45 观察 不存在 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 46 观察 不存在 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 47 观察 不存在 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 48 观察 不存在 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 49 观察 不存在 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 50 观察 不存在
