1、1 第四章 根轨迹法 线性系统的稳定性完全由它的特征根 闭环极点 所决定 线性系统的稳态特性 即稳态误差主要由其开环增益 系统结构以及输入激励决定 线性系统的动态特性 品质 取决于其闭环极点和零点 且主要由闭环极点主导 由此可见 分析系统的可调参数变化时其闭环极点在S平面的位置变化规律是非常有意义的 2 第四章 根轨迹法 4 1根轨迹的定义与幅相条件系统动态响应的基本特征是由闭环极点的位置决定的 根轨迹法 在已知开环传递函数零 极点分布基础上 通过图解法研究系统某一个或多个参数变化时 对系统闭环极点分布的影响 4 1 1根轨迹的定义例设一系统闭环传递函数 特征方程的根 3 若参变量K1从0 变
2、化时 特征方程根的变化情况如表根轨迹图 以系统增益K1为参变量 当K1由0 时 系统闭环极点在s平面上变化的轨迹 根据此图可分析参数K1变化对系统特性的影响 4 稳定性当K1由0 根轨迹不会进入s右半边 即系统总是稳定的 注 K1 0稳态特性坐标原点有一个开环极点 所以属I型系统 根轨迹上的K1值就是Kv 如果已知ess 则在根轨迹上可确定闭环极点取值范围 动态特性 当00 5时 闭环系统是复极点 为欠阻尼状态 单位阶跃响应为衰减振荡过程 5 分析表明 根轨迹与系统性能之间有着较密切的联系 然而 对于高阶系统 用解析的方法绘制统根轨迹图 显然是很繁琐 我们希望能有简便的图解方法 根据已知的开环
3、传递函数迅速绘出闭环系统的根轨迹 为此 需要 研究开环零 极点与闭环系统的根轨迹之间的关系 6 4 1 2根轨迹的幅相条件闭环传递函数 闭环特征方程 或由于是复数 可用向量表示 将其分成两个方程 7 设K1 开环根迹增益 首1型 幅角条件 幅值条件或 8 凡满足幅值和幅角条件的s值 都是闭环极点 特征方程根 这些s值构成系统根轨迹 关键找出这些s点 通常 1 寻找满足幅角条件的s值来绘制根轨迹曲线 2 用幅值条件确定根轨迹曲线上各点所对应的K1值 工程上定义 1 当0 K1 时的根轨迹称之为主要根轨迹 简称根轨迹 2 当 K1 0时的根轨迹称之为辅助根轨迹或补根轨迹 3 当 K1 时的根轨迹称
4、为完全根轨迹 简称全根轨迹 4 1 3绘制根轨迹的步骤 1 寻找满足幅角条件所有的s点 由这些点构成根轨迹 2 根据幅值条件确定对应点 即特征方程根 处的K1值 9 4 2绘制根轨迹图的基本规则以开环根迹增益K1为参变量绘制根轨迹的一些基本规则 1 根轨迹的起点和终点起点 起始于开环传递函数的极点 终点 终止于开环传递函数的零点 包括m个有限远的零点 简称有限零点 和 n m 个无限远的零点 简称无限零点 当变化时 整个根轨迹的趋向由起点移向终点 即由开环的极点移向开环的零点 10 根据幅值条件当时 起点 说明根轨迹起始于开环传递函数的极点 n阶系统共有n个开环极点 每个开环极点都对应根轨迹的
5、一个起点 所以共有n个起点 11 终点 1 有m条根轨迹终止于开环传递函数的m个有限零点 当时 把这m个零点称之为系统的有限零点 2 有 n m 条根轨迹终止于开环传递函数的 n m 个无限零点 当时 上式表明 有n m条根轨迹的终点在无穷远处 我们把无穷远处的零点称之为无限零点 12 综上所述 系统共有n个开环零点 其中m个为有限零点 n m 个为无限零点 每个开环零点都对应根轨迹的一个终点 所以共有n个终点 2 根轨迹的分支数根轨迹的分支数等于开环的极点数 我们把一条完整的根轨迹称之为根轨迹的一个分支 由前面的分析可知 n阶系统有n个根轨迹的起点和终点 所有的根轨迹都是有头有尾 有始有终
6、所以其分支数必等于开环的极点数或系统的阶数 13 3 根轨迹的对称性根轨迹对称于实轴 特征方程的根或为实数 或为复数 必对称于实轴 4 根轨迹的渐近线 s 处的根轨迹特征 渐近线共有 n m 条 且相交于实轴上的同一点 渐近线于实轴的夹角 k 0 1 2 n m 1 渐近线与实轴的交点 14 幅角条件 当时 零点 极点与矢量复角可近似看成相等得到所以渐近线的倾角 共有 n m 条渐近线 所以只要取 n m 个不同的倾角即可 1 根轨迹渐近线的倾角 15 幅值条件 当 则对应于 此时 上式可写成 2 渐近线与实轴的交点 16 上式左边展开 上式右边展开比较对应s幂项系数相等 求得 所以渐近线相交于同一点 17 五 根轨迹在实轴上的分布实轴上凡有根轨迹的线段 其右侧的开环零点 极点之和必为奇数 在s 0与s z1之间的实轴上任取一个试验点s1加以説明 18 例 已知 试画出根轨迹的大致图形 解 按根轨迹绘制的规则 1 起点 0 1 2 终点 2 分支数 n 3 3 根轨迹对称于实轴 4 渐近线 因为本系统中 所以渐近线共有3条 渐近线的倾角 取k 0 1 2 得到 19 渐近线与实轴的交点 5 根轨迹在实轴上的分布 0 1 2 之间 20
