1、 一元微积分学 大学数学 一 第三十四讲常微分方程 第七章常微分方程 本章学习要求 了解微分方程 解 通解 初始条件和特解的概念 了解下列几种一阶微分方程 变量可分离的方程 齐次方程 一阶线性方程 伯努利 Bernoulli 方程和全微分方程 熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法 会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程 知道下列高阶方程的降阶法 了解高阶线性微分方程阶的结构 并知道高阶常系数齐线性微分方程的解法 熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法 掌握自由项 右端 为多项式 指数函数 正弦函数 余弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方程的解法 第三节几种可降阶的高阶常微
2、分方程 二阶和二阶以上的微分方程 称为高阶微分方程 通过变量代换将高阶方程转化为较低阶的微分方程进行求解的方法 称为 降阶法 降阶法 是解高阶方程常用的方法之一 这是变量可分离的方程 两边积分 得 即 解 解 这是一个一阶微分方程 设其通解为 连续积分即可求解 解 两边积分 得 即 再积分 得原方程的通解 解 分离变量 得 积分 得 连续积分4次 得原方程的通解为 于是 原方程化为 这是一个一阶微分方程 设其通解为 这是一个变量分离方程 它的通解就是原方程的通解 解 于是 原方程化为 两边积分 得 运用分离变量法 得此方程的通解为 综上所述 原方程的通解为 解 即 从而 即 运用分离变量法求解此方程 即得原方程的通解 形如 的方程称为克莱罗方程 其中函数f为可微函数 可以直接写出该方程的通解 并且由下列方程组可求得该方程的奇解 证 将克莱罗方程两边关于x求导 得 通解 解 原方程即 由题意 这是一个克莱罗方程 故其通解为 故原方程有奇解 综上所述 原方程的通解为 且方程还有奇解
