1、5-1 基本方程和边界条件汇总,5-2 弹性力学问题的解法,第五章 弹性力学问题的建立,5-3 弹性力学的一般性原理,5-4 弹性力学问题的求解方法及其简例,5-1 基本方程和边界条件汇总,在第二、三、四章较全面的讨论了弹性变形体在承受外力作用时，发生变形（应变）和内力（应力），这些变形和内力应遵循的三个基本规律，从而导出了待求物理量（应力、应变、位移）所须满足的基本方程，共十五个，现汇总如下。,一. 平衡微分方程,3个方程,应力与体力的关系,二. 几何方程或协调方程,位移与应变之关系,6个方程；当由应变场确定位移场时，尚需补充变形协调方程（取一组3个），一般有选择地取第一组和第二组。,三.
2、本构方程,应力与应变之关系,或,6个方程。方程有多组表达形式，一般根据需要选取适当的形式。,四. 边界条件,1. 应力边界条件,在S上：,2. 位移边界条件,在S上：,应力与面力之关系,位移与约束之关系,5-2 弹性力学问题的解法,由三个基本规律导出的应力、应变和位移满足的基本方程加上相应的边界条件建立了弹性问题解析法（微分提法）体系，从数学上看是求解15个偏微分方程组的边值问题。,当边界条件为应力边界条件时称为偏微分方程第一边值问题；,当边界条件为位移边界条件时称为偏微分方程第二边值问题；,当边界条件为应力和位移混合边界条件时称为偏微分方程第三边值问题。,一. 弹性力学问题的数学提法,弹性力
3、学问题的待求函数共15 个（ij 、ij、ui），如果一视同仁的同等看待，由给定的边界条件下求偏微分方程组的定解是不可能的。,为了有效地求解，从15个量中选取一部分作为基本待求未知函数，而其它待求函数看成由基本待求函数导出的未知函数，这样使得求解方程减少，且主攻方向明确（求基本未知量）。,基本未知函数选取不同，导出的求解步骤和方程名称不同，如：位移法、应力法和混合法。,二. 位移法,选取ui 为基本未知函数，而ij 和ij 均看成是由ui 导出的未知函数，这样15个方程中某些方程成为,ui ij ij,的关系式。,由于ui 为连续函数，从而自然满足变形协调条件，所以未知函数只要满足平衡条件及相
4、应边界条件，则必然是问题的解，故平衡微分方程是位移法的控制方程,位移法基本思路如下：,基本未知函数ui,几何方程,本构方程,平衡方程,求解方程,位移边界条件,应力边界条件,求应变,求应力,按其思路,应力用应变表出,本构方程,应力用位移表出,将几何方程,将ij代入平衡微分方程,并令,因,则,代入上式,展开,位移边界条件,在Su 上：,即,应力边界条件,在S 上：,即,拉梅位移方程,将,代入,展开式为,力的边界条件转为用ui的偏微分表示。这类边界条件从形式上看可以处理，但实际操作上几乎不可能。,三. 应力法,选取ij 为基本未知函数，而ij和ui 均看成是由ij 导出的未知函数，这样15个方程中某
5、些方程成为,ij ij ui,的关系式。,由于ij 为关于力的量，必须满足平衡条件；由ij所导出的ij 是关于变形的量，必须满足变形协调条件。故平衡微分方程和应变协调方程是应力法的控制方程,从数学上看，由于ij 有六个独立的分量，平衡微分方程仅三个，故需补充三个变形协调方程。,应力法基本思路如下：,基本未知函数ij,本构方程,协调方程,求解方程,位移边界条件,应力边界条件,求应变,几何方程积分,由ij表示的协调方程,平衡微分方程,求位移,按其思路，关键是将应变协调方程用应力表示,将本构方程,代入第一组应变协调方程，,利用平衡微分方程消去切应力分量，,整理得,将本构方程代入第二组应变协调方程，利
6、用平衡微分方程，,按前组方程形式进行整理简化得,以上两组方程就是用应力表示的应变协调方程，称为Beltrami-Michell方程,当体力为零或常量时Beltrami-Michell方程简化为,即,问题归结为在边界条件下求解平衡微分方程及以Beltrami-Michell方程为补充方程的数学问题，,Beltrami-Michell方程独立个数？,求得应力后，再由本构方程求应变，最后由几何方程积分求位移。,将左三式相加,所以由,得,故应力分量一定是双调和函数。,即应力分量只要是双调和函数，则一定满足应变协调方程。,5-3 线弹性力学的一般性原理,一. 叠加原理,设线弹性体体积为V，表面为S，如果
7、两组外力（体力和面力）同时作用在物体上所产生的效果（应力、应变和位移）等于它们分别作用所产生的效果之和。,由于线弹性力学的求解方程（15 个）均为线性微分（代数）方程，很容易证明这个原理成立。,对于非线性问题，此原理不成立。,该原理的作用可使复杂荷载简化为若干简单荷载之和。,二. 解的唯一性定理,线弹性体在给定体力、面力和约束条件下而处于平衡状态，变形体内各点的应力、应变及位移的解是唯一的。,可采用逆推法证明：,设在 作用下，有两组解,均能满足求解方程和边界条件。,对于平衡微分方程则有,和,两式相减,此即无体力的平衡微分方程,则,同理，对于应力边界条件有,对于位移边界条件有,说明两解之差正好为
8、无体力、无面力、无支座位移的自然初始状态的解，所以,并设,无面力的应力边界条件,无位移的位移边界条件,故,唯一性定理的作用是无论用什么方法求解，只要能满足全部基本方程和边界条件，就一定是问题的真实解。这为求解方法的多样性提供了空间。,三. 圣维南原理,从前面弹性力学基本解法的讨论，可知弹性力学的定解方程要求边界条件处处给出（清楚），待求函数在边界上也须处处满足，但在实际问题中经常碰到情况：,（1）物体某局部表面上的面力分布不清楚，仅知局部面力的合 力和合力矩；,（2）解题时往往难于满足逐点给定的精确边界条件：如固定端 u1= u = 0、u2= v = 0无法满足。,所以希望能找到一种边界条件
9、的合理简化方案。,1855 年圣维南在梁理论的研究中提出: 由作用在物体局部表面上的平衡力系（即合力合力矩为零）所引起的应变，在远离作用区的地方可以忽略不计，如下图。,因此，作用在弹性体局部面积上的力系可以用作用在同一局部面积上的另一静力等效力系来代替。,圣维南原理以利于求解实际问题，但解答在原局部区域内是不能用。,小边界上的静力等效边界条件,正负号一律以坐标的方向和转向的正向决定,5-4 弹性力学问题的求解方法及其简例,逆解法：,首先根据基本方程的特点找出能满足方程的一组解，后代入边界条件检验，判断是否为正确解。,根据边界条件特点或对应力、应变和位移状态分布趋势的判断，假设能满足部分边界条件
10、和域内方程的未知函数，并由其它边界条件和域内方程导出其余未知函数。,半逆解法：,例5-1,求解等截面柱体在自重作用的弹性力学解答。,等截面柱体受体力 （在图示坐标系）为柱的密度，g为重力加速度。显然,Fbz,由平衡微分方程,猜应力解：,验证其是否满足平衡微分方程、应变协调方程和边界条件。,代入平衡微分方程,代入应变协调方程,满足,满足,代入应力边界条件,侧边S1：,满足,下边S2：,满足,上边S3：,面力分布未知，用静力等效力系替代,而,将,代入，满足,因此，应力解 可以作为本题的应力解答（在柱体上边附近不能用） 。,由物理方程得应变,代入几何方程并积分可求位移。（在下章讨论）,例5-2： 图示橡皮立方块放在同样大小的刚性盒内，上面用刚性盖密封后加均匀压力q。设橡皮与盖盒间无摩擦力，且不 考虑体力。求：橡皮受力后的位移场和应力分布。,分析：由于橡皮周围四壁均为刚性，则由对称性知 u = v = 0，w = w(z),体积应变,由拉梅方程：,满足,满足,积分两次,再由边界条件确定常数,所以,故,
