1、应用空间向量解立体几何之 用平面法向量求空间距离 B A a M N n a b 一 求异面直线的距离 方法指导 作直线a b的方向向量a b 求a b的法向量n 即此异面直线a b的公垂线的方向向量 在直线a b上各取一点A B 作向量AB 求向量AB在n上的射影d 则异面直线a b间的距离为 方法指导 作直线a b的方向向量a b 求a b的法向量n 即此异面直线a b的公垂线的方向向量 在直线a b上各取一点A B 作向量AB 求向量AB在n上的射影d 则异面直线a b间的距离为 例2 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1 求异面直线DA1与AC的距离 A B D C A1 B
2、1 C1 D1 x y z 练习 如图 A S C D B 例3 已知正方形ABCD的边长为4 CG 平面ABCD CG 2 E F分别是AB AD的中点 求点B到平面GEF的距离 D A B C G F E 如图点P为平面外一点 点A为平面内的任一点 平面的法向量为n 过点P作平面 的垂线PO 记PA和平面 所成的角为 则点P到平面的距离 n A P O 二 求点到平面的距离 例3 已知正方形ABCD的边长为4 CG 平面ABCD CG 2 E F分别是AB AD的中点 求点B到平面GEF的距离 D A B C G F E 练习 S B C D A 例4 已知正方形ABCD的边长为4 CG
3、平面ABCD CG 2 E F分别是AB AD的中点 求直线BD到平面GEF的距离 D A B C G F E 三 求直线与平面间距离 例5 在边长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中 M N E F分别是棱A1B1 A1D1 B1C1 C1D1的中点 求平面AMN与平面EFDB的距离 四 求平行平面与平面间距离 小结 1 怎样利用向量求距离 点到平面的距离 连结该点与平面上任意一点的向量在平面定向法向量上的射影 如果不知道判断方向 可取其射影的绝对值 点到直线的距离 求出垂线段的向量的模 直线到平面的距离 可以转化为点到平面的距离 平行平面间的距离 转化为直线到平面的距离 点到平面的距离 异面直线间的距离 转化为直线到平面的距离 点到平面的距离 也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的模 结论1 a n P A O M N 结论2 B A a M N n a b
