区域D分类 单连通区域 无 洞 区域 复连通区域 有 洞 区域 域D的边界曲线L的正向 当观察者沿边界行走时 区域D总在他的左边 一 区域连通性的分类 定理1 设区域D是由分段光滑正向曲线L围成 则有 格林公式 函数 在D上具有一阶连续偏导数 注 2 D是闭区域 L是闭回路 且L是D的取正向的边界曲线 1 公式中D不要求是单连通 可以是复连通的 二 格林 Green 公式 3 格林公式揭示了D上的二重积分与D的边界曲线L上的对坐标的曲线积分的关系 证明 1 若D既是X 型区域 又是Y 型区域 且 则 即 即 同理可证 两式相加得 2 若D不满足以上条件 则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域 如图 证毕 例1 设L是一条分段光滑的闭曲线 证明 证 令 则 利用格林公式 得 1 简化曲线积分 三 格林公式的简单应用 例3 计算 其中L为上半 从O 0 0 到A 4 0 解 为了使用格林公式 添加辅助线段 它与L所围 原式 圆周 区域为D 则 注 求曲线积分时 可利用格林公式简化计算 若积分路径不是闭曲线可添加辅助线 2 简化二重积分 3 计算平面面积 例如 椭圆 所围面积 四 小结 1 连通区域的概念 2 二重积分与曲线积分的关系 3 格林公式的应用 格林公式
