1、第三章 积分学 不定积分 定积分 定积分与不定积分 第一节 一 定积分问题举例 二 定积分的定义 三 定积分的几何意义 定积分的概念 四 定积分的数值计算 一 定积分问题举例 1 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 求其面积A 矩形面积 梯形面积 1 大化小 插入n 1个分点 解决步骤 分成n个小曲边梯形 2 常代变 计算第i个窄曲边梯形面积 高 宽 3 近似和 4 取极限 令 则曲边梯形面积 二 定积分定义 任一种分法 任取 总趋于确定的极限I 则称此极限I为函数 在区间 上的定积分 即 此时称f x 在 a b 上可积 记作 分法的模 定积分仅与被积函数及积分区间有
2、关 而与积分 变量用什么字母表示无关 即 定理1 定理2 且只有有限个间断点 可积的充分条件 证明略 例1 利用定义计算定积分 解 将 0 1 n等分 分点为 取 注 注 利用 得 两端分别相加 得 即 例2 用定积分表示下列极限 解 说明 根据定积 分定义可得如下近似计算方法 将 a b 分成n等份 左矩形公式 右矩形公式 梯形公式 为了提高精度 还可建立更好的求积公式 例如辛普森 公式 复化求积公式等数值积分方法 有现成的数学软件 可供调用 三 定积分的几何意义 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值 各部分面积的代数和 例3 利用定积分的几何意义计算下列定积分 的奇函数 x轴左右两块面积相等
3、故 解 如图所示 所求定积分为 半径为a的圆面积的1 4 故 第二节 一 定积分的性质 二 微积分的基本公式 定积分的性质与基本公式 三 定积分的性质 设所列定积分都存在 k为常数 证 右端 证 当 时 因 在 上可积 所以在分割区间时 可以永远取c为分点 于是 当a b c的相对位置任意时 例如 则有 6 若在 a b 上 则 证 推论1 若在 a b 上 则 解 设 则 即 例5 试证 推论2 证 即 7 设 则 例6 试证 证 设 即 故 即 8 积分中值定理 则至少存在一点 使 证 则由性质7可得 根据闭区间上连续函数介值定理 使 因此定理成立 说明 可把 故它是有限个数的平均值概念的推广 积分中值定理对 因 例7 计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均 速度 解 已知自由落体速度为 故所求平均速度 内容小结 1 定积分的定义 乘积和式的极限 2 定积分的性质 3 积分中值定理 矩形公式 梯形公式 连续函数在区间上的平均值公式 近似计算 作业 P169 1 2 P170 3 3 4 4 2 3 7 1
