第一章无穷小与极限 1 1无穷小 数列无穷小 1 函数无穷小 无穷小性质与无穷大 1 1 1数列无穷小 1 数列的定义 数列是指定义在正整数集上的函数 依按自变量增大的次序 数列的对应值可以排成 2 称为数列的通项 或一般项 数列简记为 如 简记为 简记为 简记为 简记为 3 2 数列的几何表示法 数列中可看作数轴上的一个动点 表示n无限增大的过程 3 数列的变化过程包含两个相关的无限过程 自变量n的主动变化过程 不断增大 每次加1 可以大于每个固定的正数 4 即与0的距离可以 如果n可以大于任意给定的正数 那么 就可以小于任意给定的正数 我们称无限接近于0 任意小 因变量的被动变化过程 数列的变化趋势可以概述为 无论给定一个多么小的正数 都可以有 只要即可 数列是无穷小 此时我们称当n无限增大时 5 定义1 1 数列无穷小 如果对于任意给定的正数 都存在正整数N 使得当时 不等式 成立 记为 或 则称数列是无穷小 设为数列 6 几何解释 只有有限个 至多有N个 落在其外 定义 7 定理1 1 无穷小比较定理1 证 由定义 故也是无穷小 8 例1证明 如果则为无穷小 证 则也是确定数 因是无穷小 所以 即是无穷小 9 例2证明下列数列都是无穷小 证因 10 4 因为是无穷小 注意到 根据定理1 1及例1 可知上述四个数列都是无穷小 11 解因 且 因此 不是无穷小 注 12
