1、函数逼近与希尔伯特矩阵切比雪夫多项式勒让德多项式正交多项式的应用 数值分析 19 函数逼近中的伯恩斯坦多项式 f x C 0 1 Bezier曲线 2 18 引例 求二次多项式P x a0 a1x a2x2使 连续函数的最佳平方逼近 已知f x C 0 1 求多项式P x a0 a1x a2x2 anxn使得 令 3 18 系数矩阵被称为Hilbert矩阵 令 记 4 18 定义6 3设f x g x C a b x 是区间 a b 上的权函数 若等式 成立 则称f x g x 在 a b 上带权 x 正交 当 x 1时 简称正交 例1验证 0 x 1 1 x x在 1 1 上正交 并求二次多
2、项式 2 x 使之与 0 x 1 x 正交 解 4 18 设 2 x x2 a21x a22 所以 5 18 切比雪夫多项式 T0 x 1 T1 x cos x T2 x cos2 Tn x cos n 所以 T0 x 1 T1 x x T2 x 2x2 1 1 递推公式 7 18 T0 x 1 T1 x x T2 x 2x2 1T3 x 4x3 3x T4 x 8x4 8x2 1 前五个切比雪夫多项式图形 8 18 m n 所以 切比雪夫多项式在 1 1 上带权正交 2 切比雪夫多项式的正交性 9 18 3 切比雪夫多项式零点 n阶Chebyshev多项式 Tn cos n 或 Tn x c
3、os narccosx T1 cos x 10 18 4 切比雪夫多项式的极性 Tn x 的最高次项xn的系数为2n 1 所有最高次项系数为1的n次多项式中 Pn x 21 nTn x 则 11 18 令 P11 x x x0 x x1 x x10 Q11 x x t0 x t1 x t10 则有 12 18 勒让德 Legendre 多项式 1 表达式P0 x 1 P1 x x n 1 2 正交性 13 18 3 递推式 4 零点分布 Pn x 的n个零点 落入区间 1 1 中 P2 x 的两个零点 P3 x 的三个零点 14 18 用正交多项式作最佳平方逼近 设P0 x P1 x Pn x 为区间 a b 上的正交多项式 即 k j k j 0 1 n 求P x a0P0 x a1P1 x anPn x 使 15 18 k 0 1 2 n 令 记 Pk f 由于 则有 k 0 1 2 n f x 的平方逼近 16 18 例6在区间 1 4 1 上求函数f x 的一次多项式最佳平方逼近 解 令P0 x 1 P1 x x 5 8 则 P0 P0 3 4 P1 P1 9 256 P0 f 7 12 P1 f 11 480 所以 广义付立叶级数部分和 17 18 最佳平方逼近 18 18
