1、数值分析 数值分析NumericalAnalysis机械与汽车工程学院主讲人 孔胜利kongsl 2012 09 01 数值分析 第3章函数逼近与曲线拟合 3 1函数逼近的概念3 2正交多项式3 3最佳一次逼近多项式3 4最佳平方逼近3 5曲线拟合的最小二乘法3 6最佳平方三角逼近与快速傅里叶变换 数值分析 3 1函数逼近的概念 函数逼近 对函数类A中给定的函数 记作 要求在另一类简单的便于计算的函数类B中求函数 使与的误差在某种度量意义下最小 逼近误差 度量逼近好坏的两个标准 一致逼近均方逼近 数值分析 定理1设 则对任何 总存在一个代数多项式 使在上一致成立 数值分析 范数与赋范线性空间定
2、义设S为线性空间 若存在唯一实数 满足条件 1 当且仅当x 0时 正定性 2 齐次性 3 三角不等式 则称为线性空间S上的范数 S与一起称为赋范线性空间 数值分析 例如 在上的向量 三种常见范数为称为无穷范数或最大范数 称为1 范数称为2 范数类似地 对连续函数空间 则可定义三种常见范数称为无穷范数称为1 范数称为2 范数 数值分析 内积与内积空间线性代数中 中两个向量及的内积定义为将其推广到一般的线性空间 则有以下定义 定义设X是数域K上的线性空间 对 有K中一个数与之对应 记为 它满足以下条件 1 2 3 4 则称为X上u与v的内积 数值分析 定义设是有限或无线区间 在上的非负函数满足条件
3、 1 2 对上的非负连续函数g x 如果则则称为上的一个权函数 数值分析 3 2正交多项式 正交多项式定义若 为上的权函数且满足则称f x 与g x 在上带权正交 若函数组满足关系则称是上带权的正交函数族 数值分析 勒让德 Legendre 多项式当区间为 1 1 权函数时 由序列正交化得到的多项式就称为勒让德多项式 并用表示 切比雪夫 Chebyshev 多项式当区间为 1 1 权函数时 由序列正交化得到的多项式就称为切比雪夫多项式 它可表示为 数值分析 3 3最佳一次逼近多项式 基本概念在中求多项式 使其误差这就是通常所谓的最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题 数值分析 3 4最佳平方逼近 基本
4、概念对及中的一个子集若存在 使则称是在子集中的最佳平方逼近函数 数值分析 在实际问题中 常常碰到这样的情况 虽然函数的解析式不知道 但通过实验可得出一组数据对 如何利用已知的数据来求出近似函数的解析式 插值法虽然可以做到这点 但它要求所构造的插值曲线严格经过所有数据点 当观察数据有一定的随机误差时 插值曲线也将保留这些误差 若个别点误差太大 则在该点附近的插值效果便不理想 另一方面 以插值多项式为例 实验数据多了 插值多项式的次数便随着提高 给运算带来不便 在许多实际应用问题中 最小二乘法正是构造各种经验公式的有效数值方法 3 5数据拟合的最小二乘法 数值分析 拟合曲线的最小二乘法通过对数据组
5、描点作图分析 如果确定应当用函数类A中的某个函数P x 去拟合它 则根据均方逼近在离散情况下的表示式 P x 应满足通过此式去求P x 称为拟合曲线的最小二乘法 常用的拟合方法是直线拟合和抛物线拟合 数据拟合的最小二乘法 数值分析 直线拟合若按数据组描点连起来后几乎成直线形 则可用一次多项式函数 即用直线去拟合数据组 其中a b为待定系数 称为直线拟合或一次拟合 记则应求二元函数Q a b 的最小值点 通常这种点应为驻点 即Q a b 的梯度等于零的点 数值分析 从而 a b 应满足以下方程组式中规定 从而 数值分析 例题1测得函数的一组实验数据试求拟合这组数据的多项式 解数据对描成点用线连接
6、 接近一条直线 故可采用直线拟合数据 由数据知 数值分析 故得方程组从而 拟合直线为 数值分析 实际应用问题中 除直线拟合外 还常用到分式函数 幂函数 指数函数 对数函数为拟合函数 它们虽然不是直线拟合 不是线性最小二乘法问题 但可化为直线问题即线性拟合问题来求解 分式函数 幂函数 指数函数 对数函数 数值分析 抛物线拟合若数据组描点作图与抛物线相似 则可选二次多项式为拟合函数 称为抛物线拟合或二次拟合 为确定系数 记差的平方和 数值分析 令Q的梯度 则可建立的方程组 即式中 数值分析 超定方程组的广义解方程个数多于未知元的个数的线性方程组称为 超定 方程组 它通常是无解的 无解时人们也称它为
7、矛盾方程组 矛盾方程组无解 但可用最小二乘法求得广义解 这种解在应用问题中具有实际意义 例如 求解解本题方程数大于未知数 是 超定 方程组 故无解 为求广义解 作差的平方和 数值分析 令即为原矛盾方程组的广义解 数值分析 3 6最佳平方三角逼近与快速傅里叶变换 当f x 是周期函数时 用三角函数的多项式来逼近f x 比用一般的代数多项式更加合适 设f x 是以为周期的平方可积函数 用三角多项式做最佳平方逼近函数 由于三角函数族在 0 上是正交函数族 于是f x 在 0 上的最小平方三角逼近多项式Sn x 的系数是 数值分析 其中 称为傅里叶系数 函数f x 按傅里叶系数展开所得到的级数就称为傅里叶级数 只要在 0 上分段连续 则级数 一致收敛到f x 数值分析 习题 数值分析 习题 数值分析 习题 数值分析 习题 数值分析 习题 数值分析 习题 数值分析 习题 数值分析 习题 数值分析 习题 数值分析 习题 数值分析 习题 数值分析 习题 数值分析 习题 数值分析 习题 数值分析 习题 数值分析 习题 数值分析 习题
