1、弹性力学 主讲 童中华安徽工业大学 弹性力学简明教程 第三版徐芝纶 4 上一讲回顾 4 圆孔的孔口应力集中带小圆孔的矩形板 作虚拟圆边界 四面受拉可引用轴对称解 拉压组合用半逆解法 小孔口问题的集中性和局部性 一般小孔口问题的分析方法 4 9半平面体在边界上受集中力应用圣维南原理处理集中力作用点的边界条件 虚拟分离体的合力平衡 积分求位移过程中分离变量 相对沉陷 4 10半平面体在边界上受分布力由集中力作用的解答积分可得 第五章用差分法和变分法解平面问题 5 1差分公式的推导 差分法 把微分用有限差分代替 把导数用有限差商代替 从而把基本方程和边界条件近似地改用差分方程来表示 把求解微分方程的
2、问题改换成求解代数方程的问题 微分 有限差分 导数 有限差商 微分方程 差分方程 5 1差分公式的推导 在平面弹性体上划分等间距h的两组平行线组成的网格 分别 x y轴 网格交点称为结点 网格的间距h称为步长 将f x 在x0点用泰勒级数展开 5 1差分公式的推导 结点3 结点1 联立 c b 得中心差分公式 5 1差分公式的推导 同理可得y方向中心差分公式 混合高阶偏导计算 5 1差分公式的推导 由结点3泰勒展开 由结点1泰勒展开 直接得到向前差分公式 直接得到向后差分公式 两种差分公式间的差异 5 1差分公式的推导 例1 稳定温度场中T x y 应满足 网格间距为h 求a b两点温度 解
3、5 2应力函数的差分解 1 应力 2 相容方程 5 2应力函数的差分解 3 边界条件 由三角形微分体平衡得 5 2应力函数的差分解 等价于分部积分推导 5 2应力函数的差分解 由于F的常数项及x y一次项不影响应力 可令F在A的值及两坐标方向一阶偏导皆为0 因此 ds以顺时针环绕弹性体为正向 M以顺时针为正 5 2应力函数的差分解 3 虚结点与不规则边界处理 若边界不过结点 则将此边界附近的内结点1与外虚结点9上的F值都用内结点0的F值及边界点B的F值表示 解出F1与F9的值 F0仍然作为基本未知量 5 2应力函数的差分解 应力函数差分解计算步骤 1 划分网格 在边界上任意选定一个结点作为基点
4、 并取 2 计算边界经过的结点或者网格交点处的F值及必须的 3 计算边界外虚结点及临近内结点处的F值及必须的 4 在所有非临近边界内结点处建立差分方程 5 10 5 求解差分方程组 得到F 用 5 9 计算应力 5 3应力函数差分解的实例 例2 正方形深梁 上边受均布荷载q 下边两角点处有支承反力维持平衡 试求其应力 解 1 划分6x6网格如图 根据对称性只需计算一半 结点编号如图 选A为基点 2 计算所有边界结点处F值及必须的 用于计算虚结点F值 5 3应力函数差分解的实例 2a A到J点各结点与A之间边界面力合力对末端结点合力矩为0 因此FA FJ 0 计算面力对K L M合力矩得到FK
5、2 5qh2 FL 4 0qh2 FM 4 5qh2 2b 计算A B C及K L M各点处的 2c 计算E F G H I各点处的 5 3应力函数差分解的实例 列表整理如下 3 计算虚结点处F值F16 17 18 19 20 21 F1 2 3 13 14 15F22 23 24 25 26 F3 6 9 12 15 6qh2 5 3应力函数差分解的实例 4 建立相容方程的差分方程 注意对称性 结点1处 5 求解差分方程 解出F1到F15 计算虚结点F值 进一步计算应力 编号从1到15共15个结点 可建立15个差分方程 包含15个未知量F1到F15 5 3应力函数差分解的实例 例3 计算图示
6、结构的应力 分析 1 根据对称性 可以只取1 4部分计算 边界结点有C I J D K E 内结点有1 6 基点选C点 2 C I J需要计算K E需要计算 用于计算虚结点F值 3 内结点6个可建立6个方程 求解6个未知量 5 3应力函数差分解的实例 例4 计算1点应力 解 1 根据对称性 可以只取1 2部分计算 边界结点有A B C D E 内结点有1 基点选A点 计算得到各边界结点F值及如下表 5 3应力函数差分解的实例 2 计算各虚结点F值 3 建立内节点差分方程 5 3应力函数差分解的实例 习题 计算1点应力 解 1 根据对称性 可以只取1 2部分计算 边界结点有A B C D E 内结点有1 基点选A点 计算得到各边界结点F值及如下表 5 3应力函数差分解的实例 2 计算各虚结点F值 3 建立内节点差分方程 5 小结 5 1差分公式的推导中心差分公式 5 2应力函数的差分解应力 相容方程用差分表示 边界条件用应力函数表示 5 3应力函数差分解的实例选基点 列表计算边界结点必须的值 计算虚结点F 解相容方程 计算应力 课下练习5 3
