1、1 第4章 根轨迹法 另外两种表达形式 1 因为令 即得到 2 第4章 根轨迹法 仍以上例说明 因为令求得 舍去 3 2 因为即其中即所以 第4章 根轨迹法 4 仍以上例说明 因为消去分母解上式得到经检验 s2是根轨迹在实轴上的分离点 对于采用上述三种方法 所得结果完全一致 由于后面两种方法都是从第一种方法派生出来的 所以求得的结果一定要检验 舍去K1 0所对应的值 第4章 根轨迹法 舍去 5 7 根轨迹的出射角与入射角若根轨迹的一个分支离开复极点的出射角为 则 各零点到的向量幅角之和 其它各极点到的向量幅角之和 若根轨迹的一个分支终止于复零点的入射角为 则 各极点到的向量幅角之和 其它各零点
2、到的向量幅角之和 第4章 根轨迹法 6 出射角 或入射角 是指根轨迹离开复极点 或终止复零点 处切线的倾角 在根轨迹曲线上取试验点s1 与复极点 pa的距离为 当时 可近似地认为s1在切线上 切线的倾角就等于复极点的出射角 所以的出射角 第4章 根轨迹法 7 8 根轨迹与虚轴交点根轨迹与虚轴交点的纵坐标为满足特征方程的值 工作在此点时 系统处于临界稳定状态 介绍常用的三种方法 1 利用特征方程求取 用替代s 令虚部 实部分别等于零 求得和对应的K1 2 利用劳斯阵列求取 将劳斯阵列中s2行系数构造的辅助方程求得 若根轨迹与虚轴的交点多于两个 则应取劳斯阵列中大于2的偶次方行的系数构造的辅助方程
3、求得 3 利用试探法求取 先给出根轨迹的大致图形 根据经验选择满足幅角条件的试探点求出 再利用幅值条件确定交点处的K1值 第4章 根轨迹法 8 第4章 根轨迹法 解 起点 0 3 1 j 1 j终点 1 渐近线 n m 4条 倾角 与实轴的交点 2 实轴上的根轨迹 0 3 例 试绘制根轨迹图 9 第4章 根轨迹法 10 3 分离点 试探法求得 4 p2出射角 p1 p3 p4到 p2的幅角分别 所以同理不难求得极点 p3处的出射角 5 根轨迹与虚轴的交点 方法一 由特征方程求 特征方程 第4章 根轨迹法 11 实部方程 虚部方程 解得 方法二 由劳斯阵列求 列出劳斯阵列令s1行首项为零 即求K
4、1 8 16得 再根据行s2系数得到辅助方程 第4章 根轨迹法 舍去 12 9 根轨迹的走向当n m 2满足时 随着K1增加 一些根轨迹分支向左方移动 则另一些根轨迹分支将向右方移动 开环传递函数 特征方程 当满足n m 2时 上式sn 1项将没有同次项可以合并 通常把称之为极点的 重心 第4章 根轨迹法 13 当K1变化时 极点的重心保持不变 所以 为了平衡 重心 的位置 当一部分根轨迹随着的增加向左方移动时 另一部分根轨迹将向右方移动 例 第4章 根轨迹法 14 第4章 根轨迹法 10 根轨迹上K1值的计算根轨迹上任一点S1处的K1可由幅值条件来确定 即 15 绘制根轨迹图的十条规则 16 绘制根轨迹图的十条规则 17 第4章 根轨迹法 例 系统的开环传递函数试画根轨迹 并确定时K1的值 解 只对根轨迹曲线的特征点进行分析 1 渐近线 3条 渐近线的夹角 渐近线与实轴的交点 2 分离点 即 舍去 18 第4章 根轨迹法 3 与虚轴的交点系统的特征方程 s s 4 s 6 K1 0令代入 求得实部方程 虚部方程 解得 舍去 4 确定时的K1值 过原点作OA射线交根轨迹于A 使得 测量得 求得 19 第4章 根轨迹法 A点对应的坐标 即闭环的一个极点位置 K1 44 5时另外两个极点同理可求得根轨迹在实轴上的分离点 1 57处对应的K1 17
