1、教师 安永泉学院 信息与通信工程学院 现代控制理论 2012 08 21 1 2 线性控制系统的能控性 1 主要内容 第四章线性控制系统的能控性与能观测性 线性连续定常系统的能控性线性连续定常系统的能观测性线性连续时变系统的能控性和能观测性对偶原理能控和能观测标准型线性系统的结构分解传递函数的最小实现传递函数阵和能控 观测 性的关系 第四章线性控制系统的能控性与能观测性 能控性和能观测性基本概念 状态空间描述的两段性 20世纪60年代初 由卡尔曼提出 与状态空间描述相对应 状态方程 描述了输入引起的状态变化输入能够控制状态 控制问题 输出方程 描述了状态变化引起的输出改变状态能否由输出反映 估
2、计问题 背景 能控性 指外输入u t 对系统状态变量x t 和输出变量y t 的支配能力 它回答了u t 能否使x t 和y t 作任意转移的问题 有些状态分量能受输入u t 的控制 有些则可能不受u t 的控制 受u t 控制的状态为能控状态 不受u t 控制的状态为不能控状态 显然 只能控制而不能影响 我们称状态变量是可控的 而是不可控的 只要系统中有一个状态变量是不可控的 则该系统是状态不可控的 能控性 指由系统的输出y t 识别状态变量x t 的能力 它回答了状态变量能否由输出反映出来 能观测性 有些状态能通过输出y t 确定下来 有些状态则不能 能通过y t 反映的状态为能观状态 不
3、能通过y t 反映的状态为不能观状态 第一节线性连续定常系统的能控性 状态能控性严格定义状态能控性判别准则 3种 输出能控性 一 状态能控性定义 如果存在一个分段连续的输入u t 能在的有限时间内使得系统的某一初始状态转移到任一终端状态 则称此状态是能控的 如果系统的所有状态都是能控的 即能控状态充满整个状态空间 则称系统是状态完全能控的 不失一般性 常选择终止状态为状态空间原点 即 一 状态能控性定义 二 状态能控性判别准则 1 判据一 能控性判别矩阵 证明 二 状态能控性判别准则 1 判据一 能控性判别矩阵 例 判别如下系统的能控性 2 求能控性判别矩阵的秩 故系统状态完全可控 例 判别如
4、下系统的能控性 例 判别如下线性连续定常系统的能控性 解 故系统状态不完全能控 1 例 考察如下系统的能控性 状态完全能控 第二节线性连续定常系统的状态能观测性 状态能观测性定义 估计问题 状态能观测性判别准则 3种 一 能观测性定义 如果对任意给定的输入u t 存在一有限观测时间 使得根据期间的输出能唯一地确定系统在初始时刻的状态 则称状态是能观测的 如果系统的每一个状态都是能观测的 即能观测状态充满整个状态空间 则称系统是状态完全能观测的 1 能观测性是研究输出反映状态向量的能力 即通过输出量在有限时间内的量测 能否把系统的状态识别出来 输入引起的输出可计算 所以分析观测性时 常令u恒等于
5、0 说明 一 能观测性定义 2 需要定义观测时间 目的是为了唯一地求出n个状态变量 多量出几组输出 3 能观测性规定为初始状态的确定 任意状态可在输入作用下由状态转移矩阵得到 二 能观测性判别准则 1 判据一 能观测性判别矩阵 证明 略 证明思路同能控性 用C H定理 例 判别如下系统的能观测性 解 1 构造能观测性判别矩阵 故系统不是状态完全能观测的 例 判别如下系统的能观测性 例 判别如下系统的能观测性 第三节SISO系统状态空间表达式的能控和能观标准型 能控标准型 第一 第二能控标准型 能观标准型 第一 第二能观标准型 标准型 在一组特定的基底下 状态空间表达式所具有的某种特定形式 能控
6、标准型 状态反馈系统设计能观测标准型 状态观测器的设计 前提 线性非奇异变换 不改变系统能控性和能观测性 第二能控标准型 常用能控标准型式 选取原则 以能控判别阵列向量的组合为基底 化A为友矩阵 其中 第二能控标准型 常用能控标准型式 非奇异变换阵为 是相乘的结果 推导目的 要得出 推导过程 令由列向量的线性组合组成 此时这些向量仍然是列线性无关的 变换阵取法如下 其中 1 写成矩阵形式有 根据式 1 有 所以 写成矩阵形式 就是我们在推导目的中所说的 所以 定理2说明 2 只有系统是状态完全能控时 才能写成第二能控标准型 在求系统的第二能控标准型时 首先要判断系统的能控性 不能控则不能写成能
7、控标准型 1 其中是系统的不变量 即特征多项式的系数 3 当传递函数阵没有零极点相约时 和是系统传递函数分母和分子多项式系数 直接得到第二能控标准型 例 设线性定常系统用下式描述式中 试将状态方程化为第二能控标准型 注意 非特别标明 能控标准型指的是第二能控标准型 例 第二能控标准型 解 1 判断系统能控性 2 计算特征多项式 例 第二能控标准型 3 计算变换阵 并化为第二能控标准型 例 第二能控标准型 例 写出以下传递函数的第二能控标准型 所以 例 第二能控标准型 第二能控标准型为 例 第二能控标准型 选取原则 直接以能观测判别阵的逆为基底 对偶于第一能控标准型 1 第一能观测标准型 1 第
8、一能观测标准型 证明思路 用对偶原理证明 第一能观测标准型 就是其对偶系统的第一能控标准型 1 第一能观测标准型 的第一能控标准型为 1 第一能观测标准型 根据对偶关系 的第一能控标准型为 根据对偶原理 的第一能控标准型就是的第一能观测标准型 注 变换阵互为转置逆 定理3说明 2 只有系统是状态完全能观测时 才能写成能观测标准型 所以 在求系统的能观测标准型时 首先要判断系统的能观测性 不能观测则不能写成能观测标准型 3 将系统化为第一能观测标准型的非奇异变换矩阵 就是能观测性判别矩阵Qo的逆 1 其中是系统的不变量 即特征多项式的系数 4 互为对偶的系统 化为能控标准型和能观测标准型的非奇异
9、矩阵互为转置逆 2 第二能观测标准型 以能观测判别矩阵行向量的组合为基底 对偶于第二能控标准型 常用能观测标准型 其中 2 第二能观测标准型 非奇异变换阵为 2 第二能观测标准型 定理4说明 2 只有系统状态完全能观时 才能写成能观测标准型 3 当传递函数阵没有零极点相约时 和分别是系统传递函数阵分母和分子多项式的系数 1 其中是系统的不变量 即特征多项式的系数 4 互为对偶的系统 化为能控标准型和能观测标准型的非奇异变换阵互为转置逆 例 设线性定常系统用下式描述式中 试将状态方程化为第二能观测标准型 注意 非特别标明 能观测标准型指第二能观测标准型 例 第二能观标准型 解 1 判断系统能观测
10、性 2 计算特征多项式 例 第二能观标准型 3 计算变换阵 并化为第二能观测标准型 例 第二能观标准型 例 写出以下传递函数的第二能观测标准型 所以 例 第二能观标准型 第二能观测标准型为 例 第二能观标准型 本节小结 1 SI系统的能控标准型 1 化标准型的条件 状态完全能控 2 标准型的形式 第一 第二能控标准型 2 SO系统的能观测标准型 注意 1 传递函数没有零极点对消 直接写出第二能控 观 标准型2 非特殊指定 标准型指的是第二能控 观 标准型 3 化标准型的变换阵 1 化标准型的条件 状态完全能观测 2 标准型的形式 第一 第二能观测标准型 3 化标准型的变换阵 第四节对偶原理 线
11、性定常系统的对偶关系时变系统的对偶关系对偶原理 一 线性定常系统的对偶关系 线性定常系统1 2如下 如果满足如下关系 则称两系统是互为对偶的 有的教材定义成这种形式 1 线性定常系统对偶关系示意图 输入r维 输出m维 输入m维 输出r维 2 互为对偶关系的系统之间的性质 1 互为对偶的系统 其传递函数阵是互为转置的 2 互为对偶的系统 其特征方程是相同的 设和是互为对偶的两个系统 则的能控性等价于的能观测性 的能观测性等价于的能控性 二 线性定常系统的对偶原理 所以能观测 说明 利用对偶原理 可以把对系统能控性分析转化为对其对偶系统能观测性的分析 从而沟通了控制问题和估计问题之间的关系 反之亦
12、然 证毕 本节小结 2 对偶原理 沟通了能控性 控制问题 和能观测性 估计问题 第五节线性系统的结构分解 能控性分解能观测性分解能控能观测性分解 分解目的 除了对角线和约当标准型可能明显识别外 其它能控 能观测 不能控和不能观测部分不能显性地表示出来 1 最小实现的理论依据 本质上反映状态空间描述的特性2 状态反馈的基础 能控部分极点可任意配置 3 状态重构的前提 不能观测部分设计降维状态观测器 则存在非奇异变换 将状态空间描述变换为 其中 非奇异变换阵 前n1列为Qc中n1个线性无关的列 其余列保证Rc非奇异任选 写成方程为 其中是n1维能控部分 其中是n n1维不能控部分 u不能直接控制
13、然而未来信息中又不含的信息 能控性分解示意图 请判断其能控性 如果状态不完全能控 请按能控性进行分解 例 线性定常系统动态方程如下 例 能控性分解 例 能控性分解 取Qc中线性无关的前两列为Rc中的前两列 构造变换阵如下 由此可求出 2 按能控性进行分解 例 能控性分解 例 能控性分解 二 按照能观测性分解 目的 将系统显性地分解为能观测和不能观测两部分 观测器设计基础 定理2 如果线性定常系统 状态不完全能观测 它的能观测性判别矩阵的秩 则存在非奇异变换 将状态空间描述变换为 其中 二 按照能观测性分解 写成方程为 二 按照能观测性分解 非奇异变换阵 前n1行为Qo中n1个线性无关的行 其余
14、行保证Ro的逆非奇异任选 二 按照能观测性分解 其中是n1维能观测部分 其中是n n1维不能观测部分 对y没有直接影响 而中又不含的信息 能观测性分解示意图 二 按照能观测性分解 判断其能观测性 如果状态不完全能观 请按能观测性进行分解 例 线性定常系统动态方程如下 例 能观性分解 2 按能观测性进行分解 取Qo中线性无关的前两行为Ro逆中的前两列 构造变换阵如下 由此可以求出Ro 三 按照能控和能观测性分解 目的 将系统显性地分解为能控能观测 能控不能观测 不能控能观测 不能控不能观测四部分 三 按照能控和能观测性分解 其中 三 按照能控和能观测性分解 三 按照能控和能观测性分解 能控能观测性分解示意图 非奇异变换阵的构造 逐步分解法 原系统 其中各变换阵 本节小结 1 线性系统结构分解 1 能控性分解 变换阵 2 能观测性分解 变换阵 3 能控能观测性分解 变换阵 96 谢谢 恳请各位同学批评指正
