1、第六章定积分 函数曲线y f x x a b 与直线x a x b y 0所围的平面图形称为曲边梯形 注意 任何平面图形的面积求法都可化为曲边梯形的面积求法 1 定积分概念 1 一个求平面图形面积的问题 1 曲边梯形 2 曲边梯形的面积求法 n等分区间 a b 把曲边梯形分成n个小曲边梯形 每一个小曲边梯形面积用相应的矩形面积近似 其中矩形的底边为 b a n 高为底边上某一点相应的函数值 f i 这n个小矩形的面积和为 如把 a b 越分越细 即当n 这个近似值的极限就可能等于精确值 3 曲边梯形面积计算的实例 0 1 例 求函数曲线y x2 x 0 1 与直线x 1 x轴所围的平面图形面积
2、 解 等分区间 0 1 在每一个等分小区间 i 1 n i n i 1 2 n 上 取左端点 i i 1 n 则所求面积S的近似值 严格的讲 上述推导中 由于取左端点 i i 1 n 只能有 所以只能得到 但好在函数y x2的递增性 如取右端点 i i n 就还有 所以还能得到 根据两边夹原理 就一定成立 例 求函数曲线y x2 x 1 2 与直线x 1 x 2 x轴所围的平面图形面积 解 取 i 1 i 1 n 2 一个生产速度不恒定时如何求生产总量的经济学问题 1 小学算术问题 一条生产线 每小时生产10个产品 一昼夜连续24小时生产 总共生产了多少产品 1 2 t 小时 3 x 个 小时
3、 23 24 10 2 有些变化的算术问题 一条生产线 每小时生产的产品数不均等 如图所示 一昼夜连续24小时生产 总共生产了多少产品 1 2 t 小时 3 x t 个 小时 23 24 10 7 6 8 求生产总量 求矩形面积 求生产总量 求阶梯形面积 3 更为现实的数学问题 一条生产线 已知其生产速度曲线 如图所示 一昼夜连续24小时生产 总共生产了多少产品 2 t 小时 3 x t 个 小时 23 24 求生产总量 求曲边梯形面积 3 定积分的定义 第4页 如果对于定义在闭区间 a b 上的函数f x 不考虑是否有曲边梯形面积的几何意义 只在数学上研究下面形式的和式极限是否存在 可以定义
4、函数f x 在区间 a b 上的定积分概念 如果不论如何取点 i 极限 总是存在的 且是一个不变的值 则就称此极限值为函数f x 在区间 a b 上的定积分 该函数则被称为在 a b 上是可积的 注意定义中要求 不论如何取点 i 极限总是存在的 且是一个不变的值 的含义 因为我们希望研究的函数可以没有单调性 而前面特例中的两边夹方法对于一般情况的函数将不可能适用 故必须要求如此 f x 在区间 a b 上的定积分有一个简便的记号 区间 a b 通常称为定积分的积分区间 a b通常称为定积分的下 上限 4 定积分概念的几点说明 1 当a b时 规定 3 当a b和函数f x 给定时 定积分 是一
5、个与x无关的常数 当a b时 2 定积分的值只依赖于a b和函数f 不依赖记号中的变量记法 所以 i 如果f x 在闭区间 a b 上连续 则f x 在 a b 上必定可积 或连续函数f x 在闭区间 a b 上的定积分总是存的 ii 如果f x 在闭区间 a b 上有界 且只有有限个第一类间断点 则f x 在 a b 上也是可积的 或f x 在闭区间 a b 上的定积分是存在的 iii 如果f x 在闭区间 a b 上无界 则f x 在 a b 上必不可积 或f x 在闭区间 a b 上的定积分是不存在的 4 定积分存在或函数可积的充分条件和必要条件 5 恒正函数定积分的几何意义 表示函数曲线y f x x a b 与直线x a x b y 0所围的平面图形 曲边梯形 的面积数 如果f x 在闭区间 a b 上恒大于零 f x 0 则f x 在 a b 上的定积分 2 定积分的七条基本性质 定积分基本性质应用的实例 证明 其中S是直线y 1 x与直线x 1 x 2 y轴所围的平面图形面积
