1、1、常数项级数,收敛级数的基本性质,级数收敛的必要条件:,习题课 常数项级数审敛,一、主要内容,常数项级数审敛法,2、正项级数及其审敛法,(1) 比较审敛法,(2) 比较审敛法的极限形式,是同阶无穷小,特别,（等价无穷小）,3、交错级数及其审敛法,4、任意项级数及其审敛法,Leibniz定理,绝对收敛，条件收敛,附：,正项级数与任意项级数审敛程序,发散,N,Y,Y,N,N,改用它法,Y,收敛,收敛,发散,收敛,发散,N,发散,Y,Y,收敛,N,用检比 法,用比较法,用L准则或考察部分和,N,N,Y,条件收敛,例1,求极限,解,考察正项级数,由检比法,收敛,由级数收敛的必要条件得,二、典型例题,
2、例2 设,试证,证,不妨设 a 0,由极限保号性知,由于,故由比较法的极限形式得,则,例3,解,根据级数收敛的必要条件，,原级数发散,解,从而有,原级数收敛；,原级数发散；,原级数也发散,例4,解,即原级数非绝对收敛,由莱布尼茨定理：,所以此交错级数收敛，,故原级数是条件收敛,证,再由比较审敛法知,即,证,由题设知,而,收敛,由比较法得,收敛,Cauchy积分审敛法,例7,证,由 f(x) 单调减少知,即,故,与,同敛散,例8,证,记,则,且,而正项级数,的部分和,又,单调增加且有界,故由单调有界原理知,存在,即,收敛,进而,收敛,由比较法得,收敛,证,记,由,单调减少,故由单调有界原理知,存
3、在,且,若,由Leibniz审敛法得,交错级数,收敛,与题设矛盾,由检根法知,收敛,例9,已知,证明,由,知,对,有,证,例10,而,收敛,故由比较法知,收敛,由,知,有,而,发散,故由比较法知,发散,如,但,讨论,的敛散性,解,对级数,收敛,绝对收敛,发散,发散,分情况说明,例11,级数成为,收敛,发散,级数成为,绝对收敛,条件收敛,例12,对,的值，研究一般项为,的级数的敛散性,解,由于当 n 充分大时，,定号,故级数从某一项以后可视为交错级数,总有,级数发散,非增地趋于 0,由Leibniz审敛法知,收敛,但,而,发散,故由比较法的极限形式,发散,条件收敛,级数显然收敛,正项级数,由级数
4、收敛的必要条件要使 收敛必须,但在一般项趋于 0 的级数中为什么有的收敛有的却发散，,因此从原则上讲，比较法是基础，更重要更基本，但其极限形式（包括极限审敛法）则更能说明问题的实质，使用起来也更有效,的阶,问题的实质是级数收敛与否取决于,关于常数项级数审敛,和,作为,变化快慢,得到检比法和检根法，检比法,和检根法的实质是把所论级数与某一几何级数,作比较，虽然使用起来较方便但都会遇到“失效”的情况。,这一结论将许多级数的敛散性判定问题归结为正项级数的敛散性判定,注,比较法、比较法的极限形式、检比法、检根法、积分审敛法，只能对正项级数方可使用,的一种估计,检比法、检根法只是充分条件而非必要条件,L准则也是充分条件而非必要条件,通项中含,等常用检比法,通项中含 有以 n 为指数幂的因子时,常用检根法,使用比较法的极限形式时，关键在于找出与,同阶或 等价的无穷小,如,记,则,当所讨论的级数中含有参数时，一般都要对参数的取值加以讨论,
