1、第六章 位移法 SLOPE DEFLECTIONMETHOD 6 1等截面直杆的转角位移方程 theslope deflectionequation 6 2位移法的基本概念 BasicConcept 6 3位移法基本未知量的计算 primaryunknown 6 4位移法计算示例 6 5位移法的典型方程及示例 6 1等截面直杆的转角位移方程 内容 荷载 支移影响下等截面直杆杆端内力的计算方法 力法 内力及变形的正负号 顺时针转为正 逆时针转为负 ik 绕另一端顺时针转为正 逆时针转为负 M 对杆端而言 顺时针转为正 对结点和支座而言 逆时针转为正 FQ 使脱离体顺时针转为正 逆时针转为负 一
2、固端弯矩与固端剪力 FixedEndMomentsandShearingForces 固端弯矩 单跨超静定梁仅由荷载引起的杆端弯矩 固端剪力 单跨超静定梁仅由荷载引起的杆端剪力 计算方法 力法 常见荷载作用时见表6 1 二 支移引起的杆端内力 EndForcesduetoSupportMovement 计算方法 力法 M 由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数 单跨超静定梁简图 MAB MBA FQAB FQBA 4i 2i 0 3i 0 i i 0 三 等截面直杆荷载 支移共同作用下的杆端内力 等截面直杆的转角位移方程 theslope deflectionequation 方法 迭加法 等截
3、面直杆的转角位移方程 一端固定一端铰支梁 已知 荷载 一端固定一端定向支承梁 已知 荷载 6 2位移法的基本概念 实例 计算图示结构的内力 1 考虑变形相同 将原结构视为若干单杆的组合体 2 考虑受力相同 将各单杆组合为结构时 必须满足平衡条件 根据此方程计算 B 一 图示结构由AB BC两杆组成 计算 计算 B 2 单杆组合为结构时 考虑B结点的力矩平衡 1 对各单杆 根据转角位移方程写出各杆杆端弯矩表达式 AB杆 BC杆 二 利用转角位移方程求内力 AB杆 BC杆 M FQ 位移法计算要点 研究结构的变形特点 找出必须求解的结点位移 以此作为基本未知量 根据转角位移方程求内力 求解位移 利
4、用结点的力矩平衡条件或部分结构的力的平衡条件 建立方程计算位移 6 3位移法基本未知量的计算 角位移数 ny 线位移数 nl 总位移数 n ny nl一 单杆 不计轴向变形 二 杆系结构 1 角位移数 结论 角位移数 刚性结点数 一个刚性结点一个角位移 2 线位移数 两个基本假设 1 不计杆件的轴向变形 2 不计杆件由于弯曲引起的两端的接近 推论 由两个不动点引出不在一直线的两直杆 相交的点不动 C 杆系结构线位移数的确定 方法一 根据推论 逐一考察各结点 支座 对可动点 添加附加链杆使其不动 附加链杆数即为线位移数 线位移数的确定 方法二 将全部刚性结点 固端支座视为铰结 铰支 形成一铰接体
5、系 若该体系几何不变 则线位移数为零 若几何可变 添加链杆使其几何不变 所加链杆数即为线位移数 解题步骤 1 确定基本未知量 2 写出各杆端弯矩表达式及部分杆件的剪力表达式 3 建立平衡方程 位移法方程 4 解方程求Zi 5 将Zi回代至杆端弯矩表达式中 求杆端弯矩 6 绘M FQ FN图 6 4位移法计算示例 一 无侧移结构 如果除支座移动以外 结构的各结点只有角位移而没有线位移 这种结构称为无侧移结构 解 1 基本未知量 B 固端弯矩 2 列各杆转角位移方程 设 AB杆 BC杆 例1计算图示无侧移结构 16 72 15 85 11 57 3 21 3 建立位移法方程 平衡条件 4 各杆端弯
6、矩及弯矩图 M图 例2 计算图示刚架 EI 常数 杆长均为l 推论 无线位移结构 在结点力作用下 各杆弯矩为零 只受轴力作用 A B C P 例3 试用位移法分析图示刚架 1 基本未知量 B C 2 杆端弯矩Mij 计算线性刚度i 设EI0 1 则 3 位移法方程 4 解方程 相对值 5 杆端弯矩及弯矩图 46 9 24 5 1 7 9 8 4 89 M图 二 有侧移结构 例4 用位移法计算图示排架结构 解 1 基本未知量 BA BC Z1 2 列各杆转角位移方程 q 5 绘弯矩图 剪力图 轴力图 4 由转角位移方程计算弯矩 3 由平衡条件建立位移法方程 求 M 注意 2 位移法的平衡方程数目
7、 未知结点位移数 特别注意 当结点作用有集中外力矩时 结点平衡方程式中应包括外力矩 角位移 取刚性结点 1 未知量一般按正向假设 基本未知量为 特别注意 当结点作用有集中外力时 平衡方程式中应包括外力 线位移 取部分结构 或 6 5位移法的典型方程及示例 前述实例 1 考虑变形相同 在原结构上加附加联系 刚臂 链杆 得一基本结构 2 考虑受力相同 基本结构附加联系上的反力 反力矩 等于零 得方程计算位移 一 思路 仿照力法 取一基本结构代替原结构进行计算 计算Z1 2 使刚臂产生转角Z1 放松结点 所需施加的力矩R11 刚臂上的总力矩为 总力矩为零 1 加刚臂 锁住结点 产生的反力矩R1P 典
8、型方程 二 位移法典型方程的建立 思路 基本结构的受力 原结构的受力 即 R 0 表达式 以两个未知量为例 originalstructure primarystructure n个未知量 r11Z1 r12Z2 r1nZn Rl 0r21Z1 r22Z2 r2nZn R2 0 rn1Z1 rn2Z2 rnnZn Rn 0 写为矩阵形式 刚度矩阵 rik 刚度影响系数 讨论 1 典型方程实质是力的平衡方程 刚臂 Ri 0 Mi 0 链杆 Ri 0 取部分结构为脱离体 X 0或 Y 02 由反力互等定理 rik rki3 系数及自由项的计算 rii 基本结构上Zi 1引起第i个附加联系的反力 反
9、力偶 rik 基本结构上ZK 1引起第i个附加联系的反力 反力偶 Ri 基本结构上荷载引起第i个附加联系的反力 反力偶 系数及自由项的计算 有关刚臂的系数 自由项 取结点用 M 0求解 P 系数及自由项的计算 有关链杆的系数 自由项 取部分结构为脱离体 用 X 0或 Y 0求解 解题步骤 1 确定基本未知量 添加附加联系 确定基本结构 2 建立位移法典型方程 4 解方程求Zi 5 绘M FQ FN图 例5用典型方程法分析图示结构 q 例6 用位移法计算图示结构 2 建立位移法典型方程 解 1 确定基本未知量及基本结构 0 1 0 2 r11Z1 r12Z2 R1P r21Z1 r22Z2 R2
10、P 1 1 0 1 0 2 r11Z1 r12Z2 R1P r21Z1 r22Z2 R2P r11 10i r21 1 5i r12 1 5i 3 计算系数及自由项 4kN m 6kN 位移法方程 5 绘制弯矩图 4 计算结点位移 A B C D 1 A B D i i 2i 4kN m 4kN m 5 69 M kN m 13 62 C 4 42 讨论 建立图示刚架的位移法方程 各杆长l EI 常数 基本未知量为 E 有悬臂的刚架 M KN m 将悬臂段荷载平移至结点 去掉悬臂 按无悬臂情况计算 绘M图时加上悬臂 其M图按悬臂梁考虑 32 12 6 20 2 对称性的利用 等值半刚架法 支移
11、引起的内力计算 计算方法同荷载作用 区别 在转角位移方程中 将固端弯矩改为单跨超静定梁支移引起的弯矩 注意 最终弯矩与EI的绝对值有关 例6 计算图示刚架EI 常数 杆长均为l 用典型方程法计算支移引起的内力 特点 1 将方程中的Ri 改为Ric MP改为Mc Ric的计算与RiP相同 即在Mc图中取结点或部分结构 用平衡方程求解 力法与位移法的比较 超静定结构的位移计算 一 跨间某一点的线位移或某一截面的角位移计算 计算出超静定结构的N M 按静定结构的位移计算方法 任选一静定的基本结构 在需求位移处虚加单位力 绘出虚加单位力引起的内力 按相关公式进行计算 二 结点处的线位移或角位移的计算 位移法 静定结构与超静定结构的比较
