1、选 做 题 型 的 格式要求说明1. 论 文 第 一 页 为 承 诺 书 ， 具 体 内 容 和 格 式 见 本 规 范 第 二 页 。 2. 论 文 题 目 、 摘 要 和 关 键 词 写 在 论 文 第 二 页 上 ， 从 第 三 页 开 始是 论 文 正 文 ， 不 要 目 录 。 3. 论 文 从 第 二 页 开 始 编 写 页 码 ， 页 码 必 须 位 于 每 页 页 脚 中 部 ， 用阿 拉 伯 数 字 从 “1”开 始 连 续 编 号 。 4. 论 文 题 目 用 三 号 黑 体 字 、 一 级 标 题 用 四 号 黑 体 字 ， 并 居 中 ； 二级 、 三 级 标 题 用
2、小 四 号 黑 体 字 ， 左 端 对 齐 不 居 中 ， 页 边 距2cm。 论 文 中 其 他 汉 字 一 律 采 用 小 四 号 宋 体 字 ， 行 距 用 单 倍 行距 。5. 提 请 大 家 注 意 ： 摘 要 应 该 是 一 份 简 明 扼 要 的 详 细 摘 要 （ 包 括 关键 词 ） ， 在 整 篇 论 文 评 阅 中 占 有 重 要 权 重 ， 请 认 真 书 写 （ 注 意篇 幅 不 能 超 过 一 页 ， 且 无 需 译 成 英 文 ） 。 全 国 评 阅 时 将 首 先 根据 摘 要 和 论 文 整 体 结 构 及 概 貌 对 论 文 优 劣 进 行 初 步 筛 选
3、。 6. 论 文 应 该 思 路 清 晰 ， 表 达 简 洁 （ 正 文 尽 量 控 制 在 20 页 以 内 ，附 录 页 数 不 限 ） 。 7. 引 用 别 人 的 成 果 或 其 他 公 开 的 资 料 (包 括 网 上 查 到 的 资 料 ) 必须 按 照 规 定 的 参 考 文 献 的 表 述 方 式 在 正 文 引 用 处 和 参 考 文 献 中均 明 确 列 出 。 正 文 引 用 处 用 方 括 号 标 示 参 考 文 献 的 编 号 ， 如13等 ； 引 用 书 籍 还 必 须 指 出 页 码 。 参 考 文 献 按 正 文 中 的 引用 次 序 列 出 ， 其 中 书 籍
4、 的 表 述 方 式 为 ： 编 号 作 者 ， 书 名 ， 出 版 地 ： 出 版 社 ， 出 版 年 。 参 考 文 献 中 期 刊 杂 志 论 文 的 表 述 方 式 为 ： 编 号 作 者 ， 论 文 名 ， 杂 志 名 ， 卷 期 号 ： 起 止 页 码 ， 出 版 年 。 参 考 文 献 中 网 上 资 源 的 表 述 方 式 为 ： 编 号 作 者 ， 资 源 标 题 ， 网 址 ， 访 问 时 间 （ 年 月 日 ） 。特 别 提 醒 ： 1. 竞赛时间：2014 年 5 月 01 日 08: 0005 月 10 日下午 17:00；2. 竞赛纸质论文提交时间：2014 年 0
5、5 月 10 日下午 12:0017:00；3. 同时提交的论文电子版必须是 word 2003 文档，请各参赛队伍保存好电子版文件，以备答辩时用；邮件主题及电子文档名称必须是题号报名号及全部参赛队员姓名组成（如：B888 张帅刘洁利亚宾） ；4. 竞赛题分必做题和选做题。选做题论文格式按要求整理制作；必做题解无格式要求，以附录形式整合到选做题文档里，请按题号顺序将解答集中放在附 录 一 中，题目可以省略。承 诺 书我仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。我完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问
6、题。我知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我将受到严肃处理。参赛选择的题号是（从 A/B/C 中选择一项填写）： 报名号： 所属学院、专业、学号、报名号： 承诺人姓名 ： 日期： 年 月 日范文举例：A 题 数码相机定位摘要随着数码技术的迅速发展，数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面得到了泛的应用，针对本题的数码相机的定位问题，我们建立了一个多目标优化的数学模型 I 用来确定像的坐标
7、与靶标的坐标之间对应关系，即通过像坐标可以直接求出靶标的坐标。这种方法可以较好的解决由于像坐标存在误差，而引起靶标坐标能否精确计算的问题。我们用此模型，比较准确的还原出靶标上的点。给定靶标上的点，我们可以对应的求出像面上的点，即得到了一个像面上的点与靶标上的点的一一对应的较准确的关系。我们首先要确定出像面上椭圆的中心坐标，因此我们采用了几何方法，根据椭圆任意两点的切线的交点与两切点的中点的连线必经过椭圆中心，所以椭圆中心即可确定下来，由以上的多目标优化模型即可求得靶标的中心，但由于多目标模型运行时间过长，所以我们改进模型为单目标优化模型，经改进以后的模型就可用较短的时间求出靶标的中心。由于本文
8、采用的是一个优化模型，求出的是其近似解，与实际的原坐标位置有一定的偏移，所以我们需检验其精度，采用两种方法检验：1、求出 5 个点的共面度，结果为 mm；2、通过用 B 点坐标计算出像的坐标，结果与实际相差 1 点像素，精度相当不错的。对于由两部相机摄的像确定两部相机的相对位置及方向，我们给出一个模型 II：利用模型 1 所求的两组坐标，及坐标系的平移和旋转关系确定。并指出该模型的最小二乘求法，该方法可以较好的处理误差所引起的方程不相容问题。关键词 几何变换 多目标优化 数码成像一、问题的重述数码相机定位数码相机定位在交通警察（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物
9、体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点， 同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”
10、。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标） ，它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，如图 1 所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。 图 1 靶标上圆的像有人设计靶标如下，取 1 个边长为 100mm 的正方形，分别以四个顶点（对应为 A、C、D、E）为圆心，12mm 为半径作圆。以 AC 边上距离 A点 30mm 处的 B 为圆心，12mm 为半径作圆，如图 2 所示。图 2 靶标示意图用一位置固定的数码相机摄得其像，如图 3 所示。图 3 靶标的像请你们：（1） 建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取
11、在该相机的焦点，x-y 平面平行于像平面；（2） 对由图 2、图 3 分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即焦点到像平面的距离）是 1577 个像素单位(1 毫米约为 3.78 个像素单位)，相机分辨率为 1024786；（3） 设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；（4） 建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。二、问题的分析针孔成像：假设物体表面的反射光都经过一个针孔中心而投影到像平面上，即满足光的直线传播条件。针孔成像主要有光心（投影中心） 、成像面和光轴组成。本文中的针孔是指光学中心。本问题研究的是相机的定位问
12、题，数码相机成像原理图如下图（1） ，又光线穿过光学中心成像，所以凸透镜成像模型可以简化为一个针孔成像模型，其原理图如图（2） ，由图可看出，景物所在的面为物面，底片所在的面为像面，BO 为物距，OD 为像距， OAB与OCD相似，已知物面任意一点的坐标即可根据相似三角形的原理求得对应像面点的坐标。照相机成像原理图（1）图（2）针孔成像的原理图形三、模型的建立与求解但是由于像坐标的计算上存在误差，这种误差有可能是相机系统造成，也可能是计算标靶圆的像中心时算法所产生的。这种误差可定是存在的，由数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置，则必将导致原物象的变形，所以我们就要求的一种误差最小
13、的方法，该问题可转化一个多目标化的最优化问题。根据多目标求误差最小化，该问题可分四步来进行求解：1. 求出物面中的点空间坐标 (,)xyz在像面中对应的点 (,)xyz的对应关系。2. 由已知物面中圆的圆心求出对应像面中五个椭圆的中心点 ,。 3. 该问题相当是第一问的反函数，我们已知了像平面上各点的坐标，反推出靶标的位置。先通过任意 3 个点的像坐标确定对应靶标的位置，确定一张平面，再验算其他两点是否也在同一张平面上。检验其精度。4. 用两部相机拍同一实物，得到两张像，在第三问的基础上，找出两个两部相机的夹角，从而确定相机的相对位置。要确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标，由于我们不能确
14、定相机与实物的相对位置，现以光学中心为原点建立三维空间坐标 o-xyz 如下图，对于坐标系中的任意一点设其坐标为 (,)xyz，设像距为 v，根据成像原理（针孔模型）可以确定像的坐标(,)， （ ）(0,-， )（ 0， ， ）（ ,)图 3 31 靶标点与像点坐标的优化模型思路与分析：首先，让我们分析数码相机的成像原理。数码相机是通过以图片文件的格式保存图片的，也就是说，数码相机所产生的图片，不是我们透镜照相机经过折射后所成的照片，这就是我们通常所说的针孔成像，它的照片可以理解为在某一像距处的一种想象的图片。比如：在本文中的照片是 357*281（像素） ，可以理解为在像距为 1577/2.
15、73（像素）处的照片，如果用 1024*768 分辩率计算，则可以理解为像距是 1577(像素)的照片。由此可见，数码像机只能用针孔（中心）成像原理的方法来讨论问题，而物理学中的 fvu1是不适合数码像机的成像原理。由于像坐标的计算上存在误差，这种误差有可能是相机系统造成，也可能是计算标靶圆的像中心时算法所产生的。而且是肯定存在的。因此简单的通过几何方法,是无法计算出标靶各圆的圆心坐标。五个标靶圆的圆心是共面的，四条边是垂直的，每条边的长度都是精确的，但是，用像点坐标和几何方法所列出的等式方程由于像坐标的误差而产生互相矛盾，从而使得无解。这种简单几何比例的方法在理论上是精确的，但像坐标存在误差
16、，必将导致所求出的标靶圆的圆心的坐标是不共面的，它们的边也会不垂直，甚至所求出的各边的长度也不是原来的数值。所以，要还原出标靶圆的坐标，我们只能寻求一个误差最小的优化方法。设光学中心与像平面的中心的连线为 X 轴,建立 XYZ 直角坐标系,五个标靶圆的圆心坐标设为A( azyx,),B( ),bzyx,C( ),czyx,D( ),dzyx,E( ezyx,)由于像平面上的横坐标一样，均为 v=1577/3.78, 五个像的中心坐标设为A( av,), B( ),bv, C( ),cv, D( ),dv, E( ev,)（1）根据几何学中相似三角形的比例关系，我们很容易的建立下列几个等式关系：
17、（2）根据边的长度，也可以列出下列几个方程： 90)()()( 222 bababa zyx1ccc )()()( 222eaeaea zyx0cdcdcd 1)()()( 222eee zyx(3) CBA,三点共线,方向向量比例关系(4) 四条边互相垂直，可列出下列等式方程： 0)()()( 0)()()( deaedeaedeae dcdcdc dcadcadca aececaec zzyyxx zzyyxx当然，我们还可以列出其它的方程，但是，这些方程都是等式方程，由于像坐标的误差，使得这些方程之间产生矛盾，从而无法还原出标靶圆的圆心坐标，也就无法确定标靶所在的平面，相机与标靶平面的夹
18、角难以确定。)()(222 aaaxyvy zz)()(222 bbbyvyx)(10)(3abacczzyyxx根据上述的分析，我们采用多目标的方法，来确定标靶的圆心坐标。既然误差会产生标靶圆和边的变形，我们不强求上的各等式方程都能同时成立，在上述的方程中选取若干个柔性条件的方程转变为目标函数，其他的方程作为约束条件。这样就可以建立一个多目标的优化数学模型。比如：由于标靶的边在还原时可能不会等于 100，我们将他们改为与 100 的差的平方最小，从而，这些方程就转变为目标函数，其他方程仍为约束条件。目标函数： min)30()()( 222 bababa zyx i12ccc i)()()(
19、 222eaeaea zyx n02cdcdcd mi)1()()( 222eee zyx约束条件：上面的其余方程均为约束条件方程。通过求解上述的优化问题，我们可以求出标靶圆的圆心坐标。进一步的具体做法在后面讨论。对于上面的模型，即物面上的坐标与像面上的坐标得近似对应关系，也就是用给定的物面上的坐标，就可对应的求得像面上的坐标，已知像面上的坐标，也可对应的求得物面坐标。32 确定像平面上各椭圆的中心坐标 这是一张分辨率为 1024*768 的 375*281 的真彩 24 的图片，如果我们把像片看作二维矩阵，由于他们的点的相对是已知的，所以不难求出各点的坐标。1、我们在椭圆边缘上随机选取三个点
20、，要求有一定距离并且不共线，在每个点处拟合切线。选取其中两个点，设他们切线的交点为 A，两点连线的中点为 B，则直线 AB 过椭圆中心。利用另外一点再求出这样一条直线，两条直线的交点就是椭圆的中心。如下图椭圆 O 的中心为 O 点，直线 AD、DE、CE 与椭圆 O 相切，切点分别为 A、B、C，AB 中点为F，BC 的中点为 G，则 DF 与 CG 相交于 O 点。2、由于相机拍摄的 RGB 图形，通过用 C 语言对图形的读取、处理，得到 0-1 矩阵（0 表示的是黑色区域，即是椭圆形的像，程序见附录 1） ，分别用三条两两互不平行的直线在 0-1 矩阵内部移动，记录每条直线第一次接触 0 的点（切点）的位置，选取其中任意两个切点，取出两个切点的中点，则两个切点对应直线的交点和中点的连线经过椭圆的中心，利用另外一点再求出这样一条直线，两条直线的交点就是椭圆的中心。
