1、数学分析 II第 8 讲教案1第 8 讲 高阶导数与二元函数极值授课题目 高阶导数与二元函数极值教学内容 1. 多元函数的高阶偏导数；2. 二元函数的二阶混合偏导数相同的充分条件；3. 二元函数的中值定理； 4. 二元函数的泰勒公式；5.二元函数极值.教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能够较好地掌握多元函数的高阶偏导数的计算方法，掌握二元函数取极值的必要和充分条件，了解二元函数的中值定理，了解二元函数的泰勒公式.教学重点及难点教学重点：多元函数的高阶偏导数的计算；教学难点：二元函数取极值的充分条件，二元函数的中值定理.教学方法及教材处理提示(1)本讲重点是多元函数的高阶偏导数的定义及计算，
2、通过例题讲授讲清方法和思想，采用边讲边练教学方法，同时要布置适量的求多元函数的高阶偏导数习题，使学生达到熟练掌握(2)二阶混合偏导与求导次序无关的定理证明是教学难点，我们可以先讲二元函数的中值定理，应用二元函数的中值定理来证明二阶混合偏导与求导次序无关的定理，布置有关习题(3) 讲清二元函数的极值必要和充分条件与一元函数的联系，可通过举例使学生掌握求二元函数极值的方法.作业布置 作业内容：教材 :1（3，5，6） ，2，8（2，3） ，11.14P讲授内容一、高阶偏导数由于 的偏导函数 仍然是自变量 与 的函数，如果它们关于 与 的偏),(yxfz),(),(yxffx xyxy导数也存在，则
3、说函数 具有二阶偏导数，二元函数的二阶偏导数有如下四种情形：f， ),(2yxfzx ).,(2yxfzy),(fyxy ),(fxyx例 1 求函数 的所有二阶偏导数.zarctn解： ， 222 yxyx .222 yxyxyz,22yxz ,22注意：从上面例子看到， 关于 和 的不同顺序的两个二阶偏导数都相等（称为混合偏导数） ，但这个xy结论并不对任何函数都成立（见例 2）.数学分析 II第 8 讲教案2例 2 设函数 .0 ,0, 22yxxyf解： 它的一阶偏导数为 ,0 , ,4, 222 yxyxyfx进而求 在（0，0）处的混合偏导数，得 , ,0,4, 222yxyxyx
4、yf f,1lim0,lim,0 yfff yxxyxy 1lim,lim00 xxfff yyxyx由此看到，这里的 在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关，那么，在什么条件下混合偏导f,数与求导顺序无关呢？ 定理 17.7 若 都在点 连续，则 . ),(),(yxffxy和 ),(0yx00,yxfyxf这个定理的结论对 元函数的混合偏导数也成立。如三元函数 ，若下述六个三阶混合偏n ),(zu导数 在某一点都连续，则在这一),(),(),(),(),( yxfzyxfzyxfzyxfzyxfzyxfz点六个混合偏导数都相等.例 3 1）设 求 ， 2）设 求 ，,yfz2x.y,f
5、z2xz.y解：这里 是以 和 为自变量的复合函数，它也可以改写成如下形式：x .,),(yxvufz由复合函数求导公式有 .1vfyufxvfufz注意，这里 仍是以 为中间变量 为自变量的复合函数所以vfu,fyx1z2 xvfuvfyxuff 22221 ,122vfyuffvfuf vfyffff 2222 1.232vfyfxvufy二、中值定理数学分析 II第 8 讲教案3先介绍凸区域的概念若区域 D 上任意两点的连线都含于 D，则称 D 为凸区域这就是说对任意两点和一切 ，恒有 yxP),(),(21 ),10( .)(),(12121 DyyxP定理 17.8（中值定理） 设二
6、元函数 在凸开域 上连续，在 D 的所有点内都可微，则对 D 内fR任意两点 ，存在某 ，使得,int),(),kbhaQ),0(.),(,( kbhafkbhafff yx 证：令 它是定义在 上的一元函数，由定理中的条件知 在 上连续，).,()tkt1, t1,0在 内可微于是根据一元函数中值定理，存在 使得 1,0 )0().(0)1(由复合函数的求导法则 .,),() kbhafkbhafyx定理 17.9（泰勒定理） 若函数 在点 的某邻域 内有直到 阶的连续偏导数，则,(0xP)(0PUn对 内任一点 ，存在相应的 ，使得)(0PU),(0kyhx)1,(,(, 000 yxfk
7、xhxff ),()(!202yxfkxh称为二元函数 在点 的 阶),()(!10yxfkxhnn).,()(!1001fynn f0Pn泰勒公式，其中 .),(),()( 000 imimimim khyxfCxfk 例 求 在点(1,4)的泰勒公式（到二阶为止）.yxf,解：由于 ，因此有,2410n.0)4,1(ln),( .1)4,(ln),()( ,0),(41)(,),(22 1 yyy xyyyxyxxyff ffffff将它们代入泰勒公式，即得 .)()1(622ox三、极值问题定义 设函数 在点 的某邻域 内有定义若对于任何点 成立不等式f0,yxP)(0PU0,PUyx则
8、称函数 在点 取得极大（或极小）值，点 称为 的极大（或极小），或 )()(0fPff 0f值点极大值、极小值统称极值极大值点、极小值点统称极值点数学分析 II第 8 讲教案4由定义可见，若 在点 取得极值，则当固定 时，一元函数 必定 在取相同f0,yx0y0,yxf0x的极值上同理，一元函数 在 也取相同的极值于是得到二元函数取极值的必要条件如下：0定理 17.10（极值必要条件） 若函数 在点 存在偏导数，且在 取得极值，则有f0,yxP0P.,00yxyxf反之，若函数 在点 满足 ，则称点 为 的稳定点定理 17.10 指出：P,0yxffx 0f若 存在偏导数，则其极值点必是稳定点
9、。但稳定点并不都是极值点，如例函数 ，原点为为其f xyh),(稳定点，但它在原点并不取得极值与一元函数的情形相同，函数在偏导数不存在的点上也有可能取得极值。例如 在原点没有偏导数，但 是 的极小值 2),(yxf0),(ff定理 17.11（极值充分条件） 设二元函数 在点 的某邻域 内具有二阶连续导数，且),yxP)(0PU是 的稳定点. 则有()当 时， 在点 取得极小值；0Pf (,002ffPfxyxx f()当 时， 在点 取得极大值；)(,02yx()当 时， 在点 不能取得极值；)(2ffxyf0()当 时，不能肯定 在点 是否取得极值0Px f0P例 5 求 的极值615),(2yxyf解： 由方程组 得 的稳定点 ，0,fyxf1,30由于 因此 在点 取得极小值.2)(,1,2 0200 PffPfPf xyxyxx f0P又因 处处存在偏导数，故 为 的惟一极值点.8)1,3(ff )3例 6 讨论 是否存在极值xyx2),(解：由方程组 ，得稳定点为原点 因 ，故原点0,ffyx )0,( ,012xyxff不是 的极值点。又因 处处可微，所以 没有极值点。f
