1、试计算酒桶体积和表面积我读了趣味几何学 ，在“黑暗中的几何学”一章中，我了解了酒桶，对它体积和表面积近似计算时，可用图 1： 右1即把酒桶看作两个截圆锥体，想算截圆锥体体积，要从圆锥体入手，从图2 左图中可以看出，我们把圆锥沿底面半径切成如图 2 右图的近似的三棱锥无限个，要研究的仅是特定的一种三棱锥： 右2,右,右把这个三棱锥扩成三棱柱，再扩为长方体，只需要证明三棱锥体积为长方体的 ，就说明了圆锥体积是等底等高的圆柱体的 ，过程见图 3。16 13右3可以从长方体中切去如图 4 的与原三棱锥全等的三棱锥 3 个，即ABDE、BCDG 、DEGH ，可得图 5:右4右5DCABHEFGJ右5从
2、图 5 中看出，剩下的是一个与原三棱锥全等的三棱锥 BEFG，还有一个大三棱锥 BDEG，只要证明三棱锥 BDEG 的高是三棱锥 BEFG 的 2 倍即可（实际要证明三棱锥 BDEG 体积是三棱锥 BEFG 的 2 倍，因为底面积相等，故用高代替） 。看点划线长方形 BDFH，取出它，如图 6： 1右DBJ:从图中来看，DO 是 FO 的三倍长，那么这两条线与两个三棱锥高有什么关系呢？可看图 5 中波浪线长方形，如图 7：（以下证明该图的正确：由于两条线 DQ、PF 都是与面 BEG 垂直且在面MNWZ 上，而 又是面 MNWZ 与面 BEG 的相交线，故 PF 及 DQ 都与 垂T1T2 T
3、1T2直，同时也说明二者平行，而 D、F 两点都在面 MNWZ 上，两点的连线必然在面 MNWZ 上，同样又由于 又是面 MNWZ 与面 BEG 的唯一的相交的部分，T1T2且 O 点是 DF 线与面 BEG 的唯一相交点，故 O 点也在 线上，P、Q、O 三点T1T2共线）从图中可以看出，由于三角形 DOQ 和 FOP 相似，前面已证明 DO 是 FO的两倍，故 DQ 是 PF 的两倍，而 DQ、PF 分别是两个三棱锥的高，则证明三棱锥 BDEG 体积是三棱锥 BEFG 的两倍。综上所述，可得出圆锥体积公式：𝑉=13𝜋𝑟2再来看截圆锥体，如图
4、8：krhR右7截圆锥体是两个圆锥相减的结果，为了分别知道圆锥的高，需要知道 k，为此，我们看截圆锥体的截面，如图 9： r右8从中可以得出比例式：𝑘:(𝑘+)=𝑟:𝑅𝑘=𝑟𝑅𝑟然后分别求两个圆锥的体积：𝑉大 圆锥 =13𝜋𝑅2(+𝑟𝑅𝑟)=𝜋𝑅33𝑅3𝑟𝑉小 圆锥 =13𝜋&#
5、119903;2𝑟𝑅𝑟=𝜋𝑟33𝑅3𝑟𝑉大 圆锥 𝑉小 圆锥 =𝜋𝑅33𝑅3𝑟 𝜋𝑟33𝑅3𝑟= 𝜋3𝑅3𝑟(𝑅3𝑟3)=𝜋3(𝑅2+𝑟2+𝑅𝑟)故截圆锥体体积为： &
6、#120587;3(𝑅2+𝑟2+𝑅𝑟)来看酒桶，它近似于两个全等的截圆锥体，如图 10：右9hrRr故可用截圆锥体公式来计算酒桶体积。那么酒桶表面积呢？同样近似于截圆锥体。截圆锥体表面积也要从圆锥说起。如图 11：右10L如上图点划线所示，可以把圆锥的侧面分成无数多个近似的三角形，它们的高是 L，底之和为 2 ，面积之和为：𝜋𝑟(2𝜋𝑟)𝐿12=𝜋𝑟𝐿即圆锥的侧面积为 𝜋𝑟
7、𝐿截圆锥侧面展开后得图 12：右1trR截圆锥的截面为图 13：rR右12tL从图 12 中可以看出：t:(t+L)=r:R𝑡=𝐿𝑟𝑅𝑟根据图 11，分别求两个扇形的面积（利用圆锥侧面积公式）：𝑆大扇形 =𝜋𝑅(𝐿𝑟𝑅𝑟+𝐿)=𝜋𝐿𝑅2𝑅𝑟𝑆小扇形 =𝜋w
8、903;𝐿𝑟𝑅𝑟=𝜋𝐿𝑟2𝑅𝑟𝑆大扇形 𝑆小扇形 =𝜋𝐿𝑅2𝑅𝑟𝜋𝐿𝑟2𝑅𝑟=𝜋𝐿𝑅𝑟(𝑅2𝑟2)=𝜋𝐿(𝑅+𝑟)即截圆锥体表面积为: 𝜋𝐿(𝑅+𝑟)来看木桶，如图 14：右13rRL加上下底面，表面积近似于： 2𝜋𝐿(𝑅+𝑟)+2𝜋𝑟2至此，木桶体积和表面积近似式都已得出。高伟辰
