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第五章平面图形几何性质(讲稿)材料力学教案(顾志荣).doc

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1、第五章 平面图形的几何性质同济大学航空航天与力学学院 顾志荣材料力学的研究对象为杆件,杆件的横截面是具有一定几何形状的平面图形。杆件的承载能力与其横截面图形的一些几何特性有密切的关系。(小实验)研究平面图形几何性质的方法:化特殊为一般 图 5-27。实际杆件的横截面: 抽象为:特殊 一般图 5-271、静矩 形心位置()静矩 图 5-28:图 5-28微面积 dA 与 Z 轴、Y 轴间距离的乘积 ydA,zdA 分别称为微面积 dA对 Z 轴 、Y 轴的静矩。整个截面对 Z 轴、Y 轴的静矩可用下式来定 义:(若把 A 看作力)定义:截面 A 对 Z 轴: (-1)AyZSd截面 A 对 Y

2、轴:计算: 对(-1)式直接 积分:若已知截面的形心位置 C,则 可以写成:yZS,(-2)cZYAS()形心的位置:(-3)ASZYyC性质: 截面对某一轴的静矩等于零,则该轴必通过形心。截面对通过形心的轴的静矩恒等于零,即:;0ZCSYCS决定因素:静矩与截面尺寸、形状、轴的位置有关。数值范围:可以为正、或负、或等于零。单位: 33,mc()组合截面的静矩:(-4)niiyiiZASYz1即组合截面的整个图形对于某一轴的静矩,等于各组部分对于同一轴静矩代数和。()组合截面的形心位置:(4-5)niiiyniiizAZSYASccz11例题 5-7 求图 5-29 所示截面图形的形心。图 5

3、-29解:把 T 形看成为由矩形和组成y 轴是对称轴形心必在 y 轴上 求 ?ZS =216028mAIA24021m(到 Z轴) yc =60+20=80mmyc则: 31 2084106Yniizs求 ?cy 52mmcAszniiiY1 201802、惯性矩(形心主惯性矩) 惯性半径 极惯性矩 图 5-30定义:(1)惯性矩(4-6)AyZdI2定义为截面对 z 轴,y 轴 的惯性矩。(2)形心主惯性矩若 Z 轴经过截面的形心,并取得最大或最小惯性矩,则该轴 称为形心主惯性轴。截面对该轴的惯性矩称为形心主惯性矩,用, 表示zcIy(3)惯性半径(4-7)AIiizzy对于圆形截面 i=

4、4dI(4)极惯性矩:(4-8)ApdI2定义为截面对坐标原点的极惯性矩。 22zy zpII计算方法:直接积分例题 5-8:惯性矩的计算求矩形截面对其对称轴(即形心轴)y、z 的 惯性矩?图 5-31解: Ahz bdyyI2)( 32h13Iy AdZ2)(bdZ 3h2b13三角形 求其 ?ZI图 5-32解: DyhyDhdAydyhIz 022= 13h圆形(扇形、14 圆、 12 圆、全圆)(1)扇形 求其 ?ZI图 5-33解: AZdyI2sinyAz dI2)(= (A)cosin84aR(2)14 圆 ?ZI图 5-34解; 2代入(A)式即得164RIz(3)12 圆 ?

5、Z图 5-35解: , 代入式(A)得 84RIz(4)全圆 ?Z图 5-36解: 2代入(A)式即得64DRIz324DIIzyzp性质:(1)同一截面对不同的坐标轴的惯性矩是不相同的。(2)截面对任意一对互相垂直轴的惯性矩之和,恒等于它对该两轴交点的极惯性矩( )22zyp决定因素:截面形状、尺寸、轴的位置。数值范围:惯性矩、惯性半径和极惯性矩的数值恒为正。单位:惯性矩、极惯性矩的单位相同、均为: 惯性半径:,44mcmc,3、平行移轴公式 图 5-37已知: 、 ; 、 , zIyzcIyccZ(两坐标轴互相平行);bycaZc求: 、 ; 、 的关系。zIyzIy解: Azd2= AccAc dAbydby)2()( 22= IIzczc220由此可见:图形对任意轴的惯性矩 图形对于与该轴平行的形心轴的zI惯性矩 图形面积与两轴间距离平方的乘积。zcI同理可得: AaIyc2平行移轴公式的运用:例题 5-9 求图示图形的 ?,2zcI图 5-38解:求 zcI因 ,即:AbzZ2133DhIDhzc62913Izc(2)求 ?2z (错!)213212 DhdAdIz 而应该: hdIzc223注意:移轴一定要对截面形心

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