1、第七章群论基础 7 1半群的定义与性质 定义7 1 1设 S 为一个代数结构 若二元运算 满足结合律 则称S为半群 或关于 的半群 含有单位元的半群 称S为含幺半群 或拟群 独异点 记为 S e 其中e为单位元 例 Z 和 Z x 都是半群 它们分别有单位元0和1 即它们都是含幺半群 也可分别记为 Z 0 和 Z x 1 而 Z 则不是半群 例7 1 1 1 E 和 E x 都是半群 其中E为偶数集合 E 有单位元0 即它是含幺半群 可记为 E 0 而 E x 没有单位元 2 O x 都是半群 其中O为奇数集合 并且有单位元1 但 O 不是半群 因为奇数对加法不封闭 3 P S 和 P S 都
2、是半群 并且都是含幺半群 P S 和 P S S 4 Mn R 关于 和 都是含幺半群 若半群 S 的二元运算满足交换律 则称 S 为交换半群 反之 则称其为非交换半群 若S为有限集合 则称半群 S 为有限半群 若S为无限集合 则称半群 S 为无限半群 定理7 1 1有限半群一定含有幂等元 定义7 1 2设 S 为半群 H S 若S的元素均可由H中的若干元素经过有限次的二元运算 而得到 则称子集H生成半群 S 并将生成半群的子集中最小的称为半群 S 的生成元集 注意 生成元集不一定唯一 其最小性是相对于集合的基数而言 通常用表示由集合P S中的元素经过有限次的二元运算而得到的S的子集 例 设S
3、 0 1 S上全体函数的集合SS 为函数的复合运算 则 SS 是含幺半群 记S上的函数及其运算表如下 则生成元集 f f0 f f1 e为单位元 e e f f0 f1 e f e f0 e f1 e f f0 f1 e f f0 f1 f0 f1 例7 1 2设 S 为半群 其中S a b c d 二元运算 由下面的运算表给出 试求该半群的生成元集 单位元是d a d b c d a b c d a b c d a d b c c d 故 a b a c 都是S的生成元集 定义7 1 3若半群 S 的生成元集为 g 则称S为循环半群 g称为S的生成元 循环半群 S 的结构非常简单 若g S生
4、成S则S中的元素都是g的幂的形式 即 S g g2 gn 其中可能有相同的元素 循环半群是可交换的 例 设F为平面上一个正三角形 如图 AF为所有保持F不变的旋转变换的集合 T表示绕点O的120 旋转 表示复合运算 因为保持F不变绕点O的旋转共有 绕点O旋转120 240 360 所以AF T T2 T3 并且 AF 为有限循环半群 T为AF的生成元 例 N 0 为无限循环半群 1是生成元 定义7 1 4若 T 是半群 S 的子代数 则称 T 为S的子半群 S的子集T能构成半群 S 的子半群的充分必要条件是T对于二元运算 是封闭的 即 定义7 1 4 若 T 是含幺半群 S e 的子代数 且e
5、 T 则称 T 为S的含幺子半群 T能构成含幺半群 S e 的含幺子半群的充分必要条件是T对于二元运算是封闭的 且e T 例 设S a b 二元运算 由运算表给出 则 S a 是含幺半群 并且有含幺半群 a a 是S的含幺子半群 含幺半群 b b 是S的子半群 但不是S的含幺子半群 半群的同态保持其二元运算 而含幺半群的同态除了保持二元运算还必须保持单位元 定理7 1 2半群 S 与半群 T 都含有单位元的充分必要条件是积半群 SxT 含有单位元 定理7 1 3半群 S 与半群 T 都是交换半群的充分必要条件是积半群 SxT 是交换半群 定理7 1 4半群 S 与半群 T 都含有零元的充分必要条件是积半群 SxT 含有零元
