1、第七节斯托克斯公式与旋度 本节要点 一 斯托克斯公式 二 旋度 一 斯托克斯公式 斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面积分下的的推 广 它也是格林公式在空间曲线积分下的推广 该公式 将定向曲面上的积分与曲面的定向边界上的积分有机地 联系起来 1 定向曲面的正向边界 设是具有边界曲线的定向曲面 规定其边界曲线 指向与曲面的法向相同 如此规定的边界曲线称为 的正向 该正向与曲面的法向量符合右手法则 即 当右手除拇指外的四指指向的方向时 竖起的拇指的 定向曲面的正向边界曲线 记作 例取上侧则 是 平面上逆时针走向的单位圆周 2 斯托克斯公式 定理1设是一张光滑或分片光滑的定向曲面 的正 在上有一阶连续
2、偏导数 向边界为光滑或分段光滑的闭曲线 如果函数 则 为了便于记忆 引用三阶行列式 式可写成 公式 或称为斯托克斯公式 由两类曲面积分的联系 上式又可写成 其中为曲面在点处的方 向余弦 证先设具有显式方程 不妨设取上侧 这时的正向边界曲线在上 转化为面上的第二类曲线 的投影曲线是平面区域的正向边界 曲线 见右图 式右端中的积分 从而可以将 积分 即 再由格林公式 得 再由第二类曲面积分的计算公式 有 比较以上两式知 若取下侧 则等式两边同时变号 故上式依旧成立 类似地 当具有显式方程时 有 类似地 当具有显式方程时 有 如此 当同时具有这三种显式方程 称这种曲面为简 单曲面 时 上述三式同时成
3、立 两边分别相加即得到 式 对于较为一般的定向曲面 通常可以用几条辅助曲 在上式中 左边的积分和即为 式的左边 而右边的 线将分成有限个简单定向曲面块然后在每 个曲面块上有相应的 式成立 从而 和 因辅助曲线一个来回的曲线积分互相抵消 故余下 的积分相加即得到 式的右边 于是 式仍然成立 故 在所有条件下 式都是成立的 例1求积分 其中为柱面与平面的交 线 从的正向看 取逆时针方向 由公式得 解取曲面为平面被柱面割下的有限部分 平面的方 向取上侧 因而法向为 从而单位法向为 代入曲面方程 例2求 与平面的交线 从轴的正向看 取顺时针方向 解两曲面的交线为 其中为球面 因而两曲面交线在平面上的投
4、影为 此曲线在平面上的投影为椭圆 面积为平面的法 由曲线积分公式 向为从而相应的单位向量为 例3求 其中是曲线 解取曲面为抛物面被柱面截下部分 取下侧 由积分公 从轴正向看 取顺时针方向 式得 利用合一投影法 二 旋度 对于向量场 我们称向量 为在点处的旋度 记为即 利用旋度概念 斯托克斯可以写成 设是场内的一条定向闭曲线 沿定向闭曲线的积 称为向量场沿的环流量 按第二类曲线积分的定义 其中是定向曲线的单位切向量 所以环流量 是向量在定向曲线上的切向量上的投影沿曲线的 分 积分 见下图 定理2设是空间的一个单连通区域 为上的类函数 则沿内定向曲线的积 分与路径无关的充分且必要条件是 例4求向量
5、场 解由公式 得 的旋度 例5设数量场 证由定义得 所以 证明 由于函数有连续的二阶偏导 故混合偏导相等 从而有 旋度的物理意义 这就是在旋转过程中各点处的速度分布 即速度场 处的质点的线速度为 考察一质点系统绕轴作匀速旋转的情况 设旋转的 角速度为 那么在点处的旋度为 则在点 可见 在物体作旋转运动时 速度场的旋度与转速有关 对某一速度场在场内取一点 一单位向量 在上任取一条包围点的光滑闭曲线 记为定向平 的侧向符合右手法则 面上被所围的部分 其边界的定向与定向平面 设是的面积 则 是流速场沿的环流量对面积的变化率 称之为在上沿方向的平均环量密度 同时取定 过该点作一张以为法向量的定向平面
6、称之为在点沿方向的环量密度 由斯托克斯公式以及积分中值定理 令向点收缩 由上式得 特别 当方向与旋度方向相同时 则极限值就是 在点沿旋度方向的环量密度 最大环量密度的方向 在该方向上 最大环量密度为 并且是向量场取得 则是反映微团旋转的快慢和确定旋转 在研究流体运动时 可将流体细分为流体微团 如果 是速度场 旋转的方向量 按一定速度平移 绕瞬时轴转动 流体微团的变形 实际问题中 流体与绕流物体之间的摩擦 流体微团 之间的摩擦 不同流层的流速不一致等因素 在流动过 程中流体微团在会作以下三种方式的运动 例如 水面漩涡产生或消失 水下看不见的暗流等现 象 它们都与流体的速度场有关 例6求 其中 解
7、 即 作直线 最后我们指出 本章的几个主要公式都是微积分基本 公式在二维和三维空间的推广 为了便于大家记忆和发 现这些公式之间的内在联系 我们把这些公式集中在一 起列出 但这里不再叙述公式成立的条件 微积分基本公式 曲线积分基本公式 格林公式 斯托克斯公式 高斯公式 三 向量微分算子 下面介绍一个在场论分析中经常出现的符号 称为 算子可像通常的向量一样 与数量值函数可作 数 算子 其定义为 乘 或与向量值函数作 向量积 从而得到新的函数 其规定如下 算子与数量值函数作数乘 算子与向量值函数作数量积 如果算子与向量值函数作数量积 记作 则 上式右端记作 符号代表 为 三维拉普拉斯算子 有 称 算子与向量值函数作向量积 从以上定义可以看到 算子实际上是从函数集合到 函数集合的一种映射 利用算子 高斯公式和斯托克斯 公式可分别写成
