1、第三章 扭转 扭转变形的特点 外力偶矩的计算 扭矩的计算 扭转剪应力的计算 本单元主要内容 3 1扭转变形的特点 2 变形特点 纵向线发生倾斜 相邻横截面发生相对错动 横截面仍为平面 只是绕轴线发生转动 杆件受到一对力偶矩的大小相等 旋向相反 作用平面与杆轴线垂直的力偶作用 1 外力特点 3 2外力偶矩的计算 1分钟输入功 1分钟m作功 单位 3 3圆轴扭转时的内力及内力图 1 圆轴扭转时的内力 扭矩 以扭转变形为主的杆 轴 扭转时的内力称为扭矩 2 扭矩利用截面法 并建立平衡方程得到 3 扭矩正负号的规定 确定扭矩方向的右手法则 4个手指沿扭矩转动的方向 大拇指即为扭矩的方向 扭矩正负号 离
2、开截面为正 指向截面为负 外力偶矩正负号的规定 和所有外力的规定一样 与坐标轴同向为正 反向为负 例3 1传动轴如图所示 转速n 500转 分钟 主动轮B输入功率NB 10KW A C为从动轮 输出功率分别为NA 4KW NC 6KW 试计算该轴的扭矩 先计算外力偶矩 计算扭矩 AB段 Mn1设为正的 BC段 Mn2设为正的 Me3 Me2 Me1 4 扭矩图 扭矩沿轴线各截面的分布情况用图形表示 计算外力偶矩 作扭矩图 Tnmax 955N m 例3 2已知A轮输入功率为65kW B C D轮输出功率分别为15 30 20kW 轴的转速为300r min 画出该轴扭矩图 3 4薄壁圆筒的扭转
3、 1 薄壁圆筒扭转时的应力 观察一个实验 将一薄壁圆筒表面用纵向平行线和圆周线划分 两端施以大小相等方向相反一对力偶矩 观察到 圆周线大小形状不变 各圆周线间距离不变 纵向平行线仍然保持为直线且相互平行 只是倾斜了一个角度 结论 横截面上没有正应力 只有剪应力 由于壁很薄 可以假设剪应力沿壁厚均匀分布 包括横截面取出一个单元体 各个截面上只有剪应力没有正应力的情况称为纯剪切 将 d 图投影到铅垂坐标平面 得到一个平面单元 2 剪应力互等定理 两互相垂直截面上在其相交处的剪应力成对存在 且数值相等 符号相反 这称为剪应力互等定理 由静力平衡条件的合力矩方程可以得到 在剪应力的作用下 单元体的直角
4、将发生微小的改变 这个改变量 称为剪应变 3 剪切虎克定律 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时 剪应力与剪应变之间成正比关系 这个关系称为剪切虎克定律 剪切弹性模量 3 5扭转剪应力的计算 扭转强度条件 1 扭转剪应力在横截面上的分布规律 在圆周中取出一个楔形体放大后见图 b 1 几何关系 2 物理关系 3 静力学关系 是一个只决定于横截面的形状和大小的几何量 称为横截面对形心的极惯性矩 令 扭转角 横截面上某点的剪应力的方向与扭矩方向相同 并垂直于该点与圆心的连线剪应力的大小与其和圆心的距离成正比 注意 如果横截面是空心圆 剪应力分布规律一样适用 但是 空心部分没有应力存在 2 扭转剪应力的
5、计算 圆截面上任意一点剪应力 T 极惯性矩 圆截面上最大剪应力 剪应力具有最大值 定义 称之为抗扭截面模量 3 抗扭截面模量 实心圆截面 4 扭转轴内最大剪应力 对于等截面轴 轴内最大剪应力发生在扭矩最大的截面的圆周上 5 扭转强度条件 空心圆截面 6 强度条件的应用 1 校核强度 2 设计截面 3 确定载荷 举例 例3 3已知A轮输入功率为65kW B C D轮输出功率分别为15 30 20kW 轴的转速为300r min 试设计该轴直径d 选 d 50mm Tnmax 955N m 例3 4某牌号汽车主传动轴 传递最大扭矩T 1930N m 传动轴用外径D 89mm 壁厚 2 5mm的钢管
6、做成 材料为20号钢 70MPa 校核此轴的强度 1 计算抗扭截面模量 cm3 2 强度校核 满足强度要求 3 6扭转变形 扭转刚度条件 1 扭转变形 扭转角 抗扭刚度 为了描述扭转变形的变形程度 引入单位长度扭转角的概念 物理意义 相距单位长度的两横截面在扭转变形过程中相对错动的角度 单位 或 2 扭转刚度条件 以每米弧度为单位时 以每米度为单位时 许用单位长度扭转角 例3 45吨单梁吊车 NK 3 7kW n 32 6r min 试选择传动轴CD的直径 并校核其扭转刚度 轴用45号钢 40MPa G 80 103MPa 1 m 1 计算扭矩 轴CD各截面上的扭矩等于车轮所受的外力偶矩T轮 则 N m 马达的功率通过传动轴传递给两个车轮 故每个车轮所消耗的功率为 2 计算轴的直径 选取轴的直径d 4 5cm 3 校核轴的刚度 例3 5一传动轴 已知d 4 5cm n 300r min 主动轮输入功率NA 36 7kW 从动轮B C D输出的功率NB 14 7kw NC ND 11kW 轴的材料为45号钢 G 80 103MPa 40MPa 2 m 试校核轴的强度和刚度 1 计算外力偶矩 2 画扭矩图 求最大扭矩用截面法求得AB AC CD各段的扭矩分别为 3 强度校核 满足强度条件 4 刚度校核 故满足刚度条件
