1、用比拟法求半椭圆导体球的接地电阻 李 川 黔西南民族师专物理系 贵州 兴义 562400 摘要通过静电场与导电媒质内恒流电场的比拟得到两导体间电容与电阻的关系将之推广到孤立导体电容的求解从而得到了孤立导体的接地电阻并计算了半椭圆导体球的接地电阻。 关键词比拟法 电阻 电容 接地电阻 一、电容与电阻的相似性 从无源均匀媒质中的静电场与电源外部均匀导电媒质中的恒定电流场的对比中可看出这两种场的场方程、结构关系式及边界条件有着完全相同的形式从数学上讲这两种场的分布实际上是同一数学问题。在满足相同边界形状和相等效的边界条件的基础上只需求出其中一种场的解通过对应物理量的替换就能得到另一种场的解这种方法叫
2、做比拟法1。正是由于静电场与恒流电场的这种相似性使得电容的计算与电阻的计算也是相似的。 在静电场中两导体间的电容被定义为 lslsldEsdEldEsdDUQC 1 式中Q为正电极上所带的电荷量U 为两电极间的电压S为包围正电极的闭合面l为从正电极到负电极的积分路径。 若将相同的两电极臵于导电媒质中并加上电压U则在导电媒质中形成电场并产 生电流则两电极间的电导被定义为 lslsldEsdEldEsdJUIG 2 由于这两种场的电极相同指电极的形状大小、相互位臵相同如果不相同则至少要求成某种比例关系边界条件相同由于电极的电导率远远大于两电极间导电媒质的电导率从电流线的折射定律可知导电媒质中的电场
3、在靠近导体处与导体表面接近正交导体面可近似认为是一个等位面这就与静电场中导体表面是一等位面的边界条件一致根据静电比拟原理两电极间的电容C与电导G 存在着简单的关系 lslsldEsdEldEsdECG1 3 从而得到电阻与 电容的关系式 RC 4 假若静电场中两导体的电容已求得则相同两导体作为电极时的填充均匀导电媒质的电阻就可直接由4式得到。此处提请注意的是3式并非是分子中的ssdE及lldE分别与分母中的ssdE及lldE相约后所得到而是将分子中的ssdElldE作为一个整体与分母中的ssdElldE作为一个整体相约后得到2它们其实分别时并不相等不能够分别相约但它们作为一个整体时是相等的可以
4、约去读者可以同轴电缆为例写出相应的表达式后即可明白。 二、电容与接地电阻的相似性 如果我们把大地当作导电媒质把两个导体中的一个作为接地电极而把另一个移到无穷远处则电容成为了孤立导体的电容电阻成为了该孤立导体的接地电阻由于它们仍是受同一方程所支配因而电容与接地电阻间同样具有相似性故只要知道某种形状电极的电容就可以从一定的对应关系式中得出该电极的接地电阻下面我们来研究电容与接地电阻的关系。 图一所示的是一个半球状电极虽然半球状电极实际并不使用但却是接地理论的基础很明显这是一个半空间的问题而静电场问题是一个全空间的问题要使恒流电场与静电场间具有可比拟性从而使接地电阻与电容具有相似性就必须将半空间问题
5、转化为全空间问题。图二所示为采用镜像法后原半球电极与它的镜像共同构成了一个全空间的球形电极问题。由于接地电流的流出面积扩大了一倍故此时的接地电阻R是半空间情况下接地电阻的一半3考虑图二所示情况在介电常数为的介质中半径为r的球体电容为 C4r 在电阻率为的均匀导电媒质中半径为r的接地导体球的接地电阻为R根据4式有 RC r4 又因半空间的接地电阻R与R 有R 2 R 的关系故半球状电极的接地电阻R为 Rr2 因此半空间中的接地电阻R与全空间中的电容C之间有如下对应关系 CR2 5 对于复杂形状电极的接地电阻只要知道附加给它镜像时的电容就可根据5式计算出其接地电阻。 三、接地电阻的计算 下面计算一
6、个如图三所示的半椭圆导体球的接地电阻在附加其镜像后问题转变成了全空间中椭圆导体球的问题要求出其接地电阻关键是求出其电容。 若能找到一等位面为椭球面的已知电荷分布则电容就能根据定义式求出。 现假设有一均匀带电线段AB其长度为h2线电荷密度 为hQ2它在空间中任意一点Px、y、z产生的电位为如图四所示 21ln8rhzrhzhQ 其中: 2221hzyxr 2222hzyxr 等位面的条件为 krhzrhz21 k为 常数 最后得到等位面的 轨迹方程为: 12211hkrrk常数 可见等位面是以A、B为焦点绕Z 轴的共焦旋转椭球面而长半轴为L 短半轴为r绕Z轴的旋转椭球面的方程为 122222Lz
7、ryx 6 如果用一导体面代替旋 转椭球面的等电位面把线段AB上的电荷Q全部移到此导体面上来根据格林等效层定理椭球外的电位分布不会发生改变。因此椭球面上的电位计算转变成为了特定条件下带电线段的电位计算。满足方程6式所描述的椭球导体面的电位计算如下 由: 122121hkrrLk 得 hLhLk 其中:22hLr 椭圆导体面上的电位为 khQln8ln8LhQhLh222222ln8rLLrLLrLQ 得椭球导体的电容为 2221111ln18LrLrLrLQC 4将之代入5式得到半椭球导体的接地电阻R: 2221111ln142LrLrLrLCR 实际上能够得到解析解的导体形状并不多对于任意形状导体的接地电阻在精度要求不高的情况下可采用与有解析解电极等效表面积臵换的方法进行计算如将长方体臵换为半椭球体立方体臵换为半球正方形板臵换为园板等而要想得到准确的接地电阻就必须采用其它的方法。 参考文献 1、毛钧杰等电磁场理论M长沙国防科技大学出版社1998249-251页 2、陈平电磁场理论与类比法M中国纺织大学出版社1998 17-21页 3、高桥健彦著马杰译 图解接地技术M 北京科学出版社2003 43-44页 4、马西奎 电磁场理论及应用M 西安西安交通大学出版社200143-45页
