1、全国2009年10月自学考试线性代数试题课程代码：02198说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r（A）表示矩阵A的秩.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.已知行列式=0，则数a =( )A.-3B.-2C.2D.32.下列矩阵中不是初等矩阵的为( )A.B.C.D.3.已知2阶矩阵A =的行列式|A|=-1，则（A*）-1=( )A.B.C.D.4.设n阶矩阵A、B、C满足ABC=E，则C -
2、1=( )A.ABB.BAC.A-1B-1D.B-1A-15.设A为2阶矩阵，若|3A|=3，则|2A|=( )A.B.1C.D.26.向量组，（s2）的秩不为零的充分必要条件是( )A.，中没有线性相关的部分组B.，中至少有一个非零向量C.，全是非零向量D.，全是零向量7.设A为mn矩阵，则n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是( )A.r(A)=nB.r(A)=mC.r(A)nD.r(A)m8.已知3阶矩阵A的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是( )A.AB.E-AC.-E-AD.2E-A9.设矩阵A=，则二次型xTAx的规范形为( )A.B.C.D.10.4元二次型f
3、(x1,x2,x3,x4)=2x1x2+2x1x4+2x2x3+2x3x4的秩为( )A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.已知行列式=1,则=_.12已知矩阵方程XA=B，其中A=，B=，则X=_.13.已知矩阵A=（1，2，-1），B=（2，-1，1），且C=ATB，则C2=_.14.设矩阵A=，则=_.15.设向量组=（1，0，0）T，=（0，1，0）T，且，则向量组的秩为_.16.已知向量组=（1，2，3，）T，=（2，2，2）T,=（3，2，a）T线性相关，则数a=_.17.已知向量=（3，
4、k,2）T与=（1，1，k）T正交，则数k=_.18.已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为，若该方程组无解，则a的取值为_.19.已知3阶矩阵A的特征值分别为1，2，3，则|E+A|=_.20.已知3元二次型f(x1,x2,x3)=（1-a）+(a+3)正定，则数a的最大取值范围是_.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算行列式D=的值.22.设矩阵A=，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+E，求|B|.23.已知线性方程互组 （1）讨论当a为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解；（2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.24.设向量组=（1，4，1，0）T，=（2，1，-1，-3）T，=（1，0，-3，-1）T，=（0，2，-6，3）T，求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.25.已知矩阵A=与B=相似，求数a,b的值.26.已知二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3，求一正交变换x=Py,将此二次型化为标准形.四、证明题（本大题6分）27.设矩阵A满足A2=E，且A的特征值全为1，证明A=E.第 3 页
