1、概率与统计（二）知识梳理1.相互独立事件：事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件.2.独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为 p，那么在 n 次独立重复试验中，这个事件恰好发生 k 次的概率为 Pn（k）=C pk（1p） nk .n3.应 用 公 式 时 ， 要 注 意 前 提 条 件 ， 只 有 对 于 相 互 独 立 事 件 A 与 B 来说，才能运用公式 P（AB）=P（A）P （B）.4.在学习过程中，要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和及独立事件的积，或其对立事件.5.善于将具体问题化为某事件在 n 次独立重复试验中发生 k 次的
2、概率.一、基础练习1.（2004 年辽宁，5）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是 p1，乙解决这个问题的概率是 p2，那么恰好有 1 人解决这个问题的概率是A.p1p2 B.p1（1p 2）+p 2（1p 1） C.1p 1p2 D.1（1p 1） （1p 2）解析：恰有一人解决就是甲解决乙没有解决或甲没有解决乙解决，故所求概率是 p1（1p 2）+p 2（1p 1）.2.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为 ，视力合格的概率为 ，其他几项标准合格的概36率为 ，从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响）51A. B. C. D.9490
3、15495解析：P= = .316453.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为 ，乙生解出它的概率为 ，丙生解出它的概率为 ，由甲、乙、丙三213141人独立解答此题只有一人解出的概率为_.解析：P= + + = .21342134341答案： 4.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是 .那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是_.31解析：因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以 P=（1 ） （1 ）3 = .31274答案： 5.(全国卷) 9 粒种子分种在甲、乙、丙 3 个坑内，
4、每坑 3 粒，每粒种子发芽的概率为 ，若一个坑内至少有 1 粒5.0种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。（）求甲坑不需要补种的概率；（）求 3 个坑中恰有 1 个坑不需要补种的概率；（）求有坑需要补种的概率。（精确到 ）0.（）解：因为甲坑内的 3 粒种子都不发芽的概率为 ，所以甲坑不需要补种的概率为 81)5.0(3.87501（）解：3 个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 .41)(7213C（）解法一：因为 3 个坑都不需要补种的概率为 ，)8(所以有坑需要补种的概率为 .0)7(13解法二：3 个坑中恰有 1 个坑需要补种的概率为 ,287.0)(1
5、3C恰有 2 个坑需要补种的概率为 ,4.8)(233 个坑都需要补种的概率为 07二、典例例题例 1、某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票 6 张，排球票 4 张；第二小组有足球票 4 张，排球票 6 张.甲从第一小组的 10 张票中任抽 1 张，乙从第二小组的 10 张票中任抽 1 张.（1）两人都抽到足球票的概率是多少?（2）两人中至少有 1 人抽到足球票的概率是多少?解：记“甲从第一小组的 10 张票中任抽 1 张，抽到足球票”为事件 A， “乙从第二小组的 10 张票中任抽 1 张，抽到足球票”为事件 B；记“ 甲从第一小组的 10 张票中任抽 1 张，抽到排球票”为事件 ，
6、 “乙从第二小组的 10A张票中任抽 1 张，抽到排球票”为事件 ，B于是 P（A）= = ，P （ ）= ；0653A52P（B） = = ，P （ ）= .142由于甲（或乙）是否抽到足球票，对乙（或甲）是否抽到足球票没有影响，因此 A 与 B 是相互独立事件.（1）甲、乙两人都抽到足球票就是事件 AB 发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得到 P（AB）=P（A） P（B）= = .5326答：两人都抽到足球票的概率是 .5（2）甲、乙两人均未抽到足球票（事件 发生）的概率为ABP（ ）=P（ ）P （ ）= = .ABB236两人中至少有 1 人抽到足球票的概率为P=1P （ ）=1
7、 = .25619答：两人中至少有 1 人抽到足球票的概率是 .2519例 2、 把 n 个不同的球随机地放入编号为 1，2，m 的 m 个盒子内，求 1 号盒恰有 r 个球的概率.解法一：用独立重复试验的概率公式.把 1 个球放入 m 个不同的盒子内看成一次独立试验，其中放入 1 号盒的概率为 P= .这样 n 个球放入 m 个不同的盒子内相当于做 n 次独立重复试验.由独立重复试验中事件 A 恰好发生 km1次的概率公式知，1 号盒恰有 r 个球的概率Pn（r） =C pr（1p） nr =C （ ） r（1 ） n r= .nmnrm)1(C解法二：用古典概型.把 n 个不同的球任意放入
8、 m 个不同的盒子内共有 mn 个等可能的结果.其中 1 号盒内恰有 r个球的结果数为 C （m1） nr ，故所求概率 P（A ）= .rn nrr)1(答：1 号盒恰有 r 个球的概率为 .nrr)1(例 3、设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为 0.1，乙、丙都需要照顾的概率为 0.125，（）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.解：（）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件 A、B、C，1 分则 A、B、C 相互独立，由题意
9、得：P（AB） =P（A ）P（B）=0.05P（AC） =P（A ）P（C）=0.1P（BC）=P（B）P （C ）=0.1254 分解得：P（A） =0.2；P（B ）=0.25；P（C）=0.5 所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是 0.2、0.25、0.56 分（）A、B、C 相互独立， 相互独立，7 分A、 、甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为10 分()()(0.875.03PPBC这个小时内至少有一台需要照顾的概率为 121()10.37pPABC例 4某会议室用 5 盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯
10、泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为 1 年以上的概率为 p1，寿命为 2 年以上的概率为 p2.从使用之日起每满 1 年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.（）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换 2 只灯泡的概率；（）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（）当 p1=0.8，p 2=0.3 时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换 4 只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.解：（I）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为 需要更换 2 只灯泡的概率为,51p;)1(2325pC（II）对该盏灯来说，在第 1、2 次都更换了
11、灯泡的概率为（ 1-p1） 2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为 p1(1-p2)，故所求的概率为 ;(（III）至少换 4 只灯泡包括换 5 只和换 4 只两种情况，换 5 只的概率为 p5（其中 p 为（II）中所求，下同）换4 只的概率为 （1-p） ，故至少换 4 只灯泡的概率为415pC.34042.06.0 6.782,3,8).(53213只 灯 泡 的 概 率 为年 至 少 需 要 换即 满 时又 当 p三、课后作业1.在某段时间内，甲地不下雨的概率为 0.3，乙地不下雨的概率为 0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是A.
12、0.12 B.0.88 C.0.28 D.0.42解析：P=（10.3） （10.4）=0.42.2.某学生参加一次选拔考试，有 5 道题，每题 10 分.已知他解题的正确率为 ，若 40 分为最低分数线，则该生被选53中的概率是_.解析：该生被选中，他解对 5 题或 4 题.P=（ ） 5+C （ ） 4（1 ）= .343531203 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 和 .假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射43击是否击中目标，相互之间没有影响.()求甲射击 4 次,至少 1 次未击中目标的概率;()求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3
13、 次的概率;()假设某人连续 2 次未击中目标,则停止射击.问: 乙恰好射击 5 次后,被中止射击的概率是多少?（1）设“甲射击 4 次，至少 1 次未击中目标”为事件 A，则其对立事件 为“4 次均击中目标” ，则A46538PA（2）设“甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次”为事件 B,则234411BC（3）设“乙恰好射击 5 次后，被中止射击”为事件 C,由于乙恰好射击 5 次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标。故 221345410P4.甲 、 乙 、 丙 三 台 机 床 各 自 独 立 地 加 工 同 一 种 零
14、件 ， 已 知 甲 机 床 加 工 的 零 件 是 一 等 品 而 乙 机 床 加 工 的 零 件 不 是 一等 品 的 概 率 为 ， 乙 机 床 加 工 的 零 件 是 一 等 品 而 丙 机 床 加 工 的 零 件 不 是 一 等 品 的概率为 ，甲、丙两台机床加12工的零件都是一等品的概率为 .92（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.解：（1）设 A、B、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，由题设条件有 ,92)(,1,4)(CAPB.92)(,1,4)()(CPAB解得
15、 P（A ）= ，P（B ）= ，P（C）=343即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是 ， ， .3142（2）记 D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，则P（D）=1P（ ）=1 1P （A） 1P（B） 1P （C） =1 = .3165故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为 .5 加工某种零件需经过三道工序。设第一、二、三道工序的合格率分别为 、 、 ，且各道工序互不影响。10987(1) 求该种零件的合格率；(2) 从该种零件中任取 3 件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率。（）解： ；98710P（）解法一： 该种零件的合格品率为 ，由独立重复试验的概率公式得：107恰好取到一件合格品的概率为 ，23().189C至少取到一件合格品的概率为 73解法二：恰好取到一件合格品的概率为 ，123()0.189至少取到一件合格品的概率为 23377()()0.971CC
