1、模态与振型模态与振型 一、模态测试概述 结构在动力载荷作用下总要产生一定的振动响应。而结构的振动常常是结构损坏、环境恶化设备的精度或可靠性降低等工程事故的主要原因。因此研究结构的动力特性和动力强度已日益成为结构设计的重要课题。 结构的动力特性主要取决于它的各阶固有频率、主振型和阻尼比等。这些参数也就是所谓的模态参数。如果已经有了结构的实物图或设计图纸并掌握所有材料的力学性能数据那么原则上可以用有限元分析等数值计算方法求出结构的模态参数。然而由于诸方面的原因例如非线性因素材料的不均匀性阻尼机理的复杂性在加上构件与构件、整机与基础的连接刚度难以确定等使有限元计算的准确性甚至于可能性受到限制。 在本
2、世纪六、七十年代发展起来的现代模态试验分析技术弥补了有限元分析技术的某些不足。模态试验分析与有限元分析的相互结合及相互补充在结构优化设计和设备诊断等许多方面都取得良好的成效。它们已经在航天、航空、车辆、船舶、机床、建筑机械、电器设备等工业部门得到极为广泛的应用。 若干年来众多学者提出的各种模态参数识别方法大体上可分为时域法和频域法两类。时域法是一种从时域响应数据中直接识别模态参数的方法频域法则是在测量频响函数基础上利用最小二乘估计萃取模态参数的方法也有人称之为机械导纳法或传递函数法。本节将着重讨论频域法它是目前公认的比较成熟和有效的方法。 二、传递函数和频响函数 1.传递函数和频响函数 在电路
3、或控制系统理论中将输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比定义为传递函数。如果把机械系统的激振力看作输入量把振动的位移响应看作输出量则机械系统的传递函数定义为 4-54 其中为复变量称为复频率其实部和虚部常用符号和表示即。拉普拉斯变换的定义为 4-55 拉普拉斯变换的主要性质有 4-56 根据以上性质对单自由度振动系统的运动微分方程进行拉普拉斯变换可得 4-57 设初始位移和初始速度均为零则有 4-58 由此可以得出单自由度系统的传递函数为 4-59 令方程 4-58 的特征多项式等于零即 4-60 在小阻尼情况下由式 4-60 求得的一对共轭复根为 4-61 和称为该系统的复频率其实部
4、既是系统的衰减指数虚部为系统的阻尼固有频率。 传递函数式 4-59 可表示为 4-62 式中 4-63 称为留数。由式 4-62 可知当或时趋于无限大故也称复频率和为极点。 前面已指出线性系统的输出与输入的傅立叶变换之比就是系统的频响函数即 4-64 在一定前提条件下也可以从信号的拉普拉斯变换式中以置换而求得它的傅立叶变换因而有 4-65 例如对单自由度振动系统将其传递函数式 4-55 的变量用置换得到它的频响函数为 4-66 这与前面简谐激励导出的位移导纳完全相同。由于频响函数和传递函数不仅适用于简谐激励而且适用于任意激励可将其理解为广义上的机械导纳。 2.传递函数矩阵和频响函数矩阵 多自由
5、度系统在任意激励下的运动方程为 4-67 对方程作拉普拉斯变换并设所有坐标的初始位移和初始速度均为零则有 4-68 其中和分别为和的拉普拉斯变换。令 4-69 4-70 则方程 4-68 可缩减为 4-71 或 4-72 称为系统的阻抗矩阵或特征矩阵称为系统的传递函数矩阵对于个自由度系统均为方阵。的第行第列元素等于系统在坐标的响应函数与坐标激励函数拉普拉斯变换之比即 4-73 如取则拉普拉斯变换转化为傅立叶变换传递函数矩阵转化为频响函数矩阵这时可得到下列定义式及关系式 4-74 4-75 4-76 4-77 如前所述由傅立叶变换给出的频响函数与根据简谐激励得到的导纳函数是完全一致的。因此频响函
6、数矩阵也称为导纳函数矩阵。频响函数矩阵中对角线元素、 、为原点导纳或驱动点导纳的非对角线元素为跨点导纳或传递导纳。 本节讨论的模态试验分析就是建立在一组频响函数测量基础上的模态参数识别技术。关于传递函数矩阵和频响函数矩阵的性质下文还要进一步讨论。 三、实模态的频响函数和模态参数 1.实模态的模态参数 由前节分析一个自由度的线性系统有个无阻尼固有频率和相应的个模态振型。个模态振型可综合为一个模态振型矩阵 模态振型对质量矩阵和刚度矩阵满足下面形式的加权正交关系 4-78 4-79 并且有 4-80 和分别称为模态质量和模态刚度。 在比例粘性阻尼情况下阻尼矩阵为常数有下面的正交关系 4-81 称为模
7、态阻力系数。 有时用模态衰减系数或模态阻尼比表征系统的阻尼特性有 4-82 4-83 系统第阶阻尼固有频率与无阻尼固有频率的关系为 4-84 通常称为系统的模态频率。 、 、 、 、或、统称为系统的模态参数。我们说一个自由度的机械系统有个模态就是指它有组模态参数。下标表示模态的阶次。上述分析中这些模态参数全都是实数故称为实模态。 2.实模态情况下的频响函数 自由度系统的频响函数可由其运动方程 按简谐激励或任意激励的傅立叶变换式导出现取前者即取 代入式 4-67 可得 4-85 通过模态分析方法即引进一模态坐标向量 4-86 显然有 且 4-87 将式 4-87 代入式 4-85 并左乘根据正交
8、关系式 4-78、4-79、4-81 可得到个解耦的方程 4-88 其中 4-89 这里为模态坐标为响应的复数振幅为对应第阶模态的激振力分量的复数力幅。 与的比值称为系统的第阶模态导纳或第阶模态频响函数用表示即 4-90 以模态导纳为对角线元素的对角矩阵称为模态导纳矩阵即 4-91 由式 4-88 可知 4-92 前节给出 4-93 可见导纳函数矩阵即频响函数矩阵与模态导纳矩阵之间满足下面关系 4-94 也即 4-96 或 4-97 可见系统的任一频响函数均可表示为其各阶模态导纳的线性和。 四、复模态的传递函数和模态参数 上一节讨论的实模态适用于无阻尼系统或比例粘性阻尼系统。对于更一般的非比例
9、粘性阻尼系统宜采用下面的复模态理论进行研究。 1.复频率、复振型 上节曾给出自由度系统运动方程的拉普拉斯变换式 对自由振动情况有 4-98 其特征方程式的展开式是复变量的次多项式。令可求得方程 4 -87 的个特征根。在小阻尼情况下它们是对共轭复根即 4-99 将、代入方程 4-97 可求得相应的个特征向量、它们满足方程 4-100 与的对应元素均为共轭复数。 和称为系统的复频率。实际上它包含了有关阻尼的参数第阶模态衰减指数和有关频率的参数第阶模态频率。 、称为系统的复振型向量或复模态向量。实振型与复振型的差别在于前者意味着系统的所有质点在振动过程中保持同相或反向后者表明各质点在振动过程中形成
10、复杂相位关系。 2.复模态情况下的模态质量、模态刚度和模态阻力系数 在复模态情况下不可以简单的套用实模态关系式 4-78、4-79 和 4-81 求得系统的模态质量、模态刚度和模态阻力系数。实际上复振型之间的正交关系与实振型之间的正交关系并不相同先推证如下 4-101 4-102 式 4-101 左乘注意到、 、为对称矩阵可得 4-103 4-104 两式相减得 4-105 当时式 4-105 成立必有 4-106 式 4-103 乘以式 4-104 乘以后两式再相减当时约去公因子可得 4-107 式4-106 和 4-107 即是复振型的两个正交关系式。 如果让两个正交关系式中等于则有 由此
11、可得 4-108 4-109 因此在复模态情况下我们可以按下面的关系定义模态质量、模态刚度和模态阻力系数 4-110 4-111 4-112 这样得到的、 、都是实数并且符合下面关系 4-113 4-114 五、模态分析在工程中的应用 作为振动工程理论的一个重要分支模态分析或实验模态分析为各种产品的结构设计和性能评估提供了一个强有力的工具其可靠的实验结果往往作为产品性能评估的有效标准而围绕其结果开展的各种动态设计方法更使模态分析成为结构设计的重要基础。特别是计算机技术和各种计算方法如 FEM 的发展为模态分析的应用创造了更加广阔的环境。 模态分析的应用可分为以下四类。 1.模态分析在结构性能评
12、价中的直接应用 根据模态分析的结果即模态频率、模态振型、模态阻尼等模态参数对被测结构进行直接的动态性能评估。对一般结构要求各阶模态原理工作频率或工作频率不落在某阶模态的半功率带宽内对结构振动贡献较大的振型应使其不影响结构正常工作。这是模态分析的直接应用已成为工程界的基本方法。 2.模态分析在结构动态设计中的应用 以模态分析为基础的结构动态设计是近年来振动工程界开展的最广泛的研究领域之一。 有限元法 FEM 和试验模态分析 EMA 为结构动态设计提供了两条最主要的途径。在围绕着两种基本方法所展开的结构动态设计研究工作中人们提出了很多的方法。这些方法可归为以下六类 1 载荷识别 2灵敏度分析3 物理参数修改4 物理参数识别5 再分析6 结构优化设计。他们分别从不同方面解决了结构动态设计中的部分问题某几种方法的组合可做到结构的优化设计。围绕这两种基本方法所展开的研究工作内容十分丰富。应用这些成果大大提高了产品设计性能缩短了设计周期。
