1、第3章 点的复合运动,运 动 学,点的合成运动,71 基本概念,72 点的速度合成定理,运 动 学,73 牵连运动是平移时点的加速度合成定理,目录,7 4 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理,第 七章点的复合运动, 三种运动, 牵连点动点和动系的选择, 两种参考系,71 基本概念,71 基 本 概 念,物体的运动的描述结果与所选定的参考系有关。同一物体的运动，在不同的参考系中看来，可以具有极为不同的运动学特征（具有不同的轨迹、速度、加速度等）。,1.两种参考系,在实际问题中，往往不仅要知道物体相对地球的运动，而且有时要知道被观察物体相对于地面运动着的参考系的运动情况。,例如在运动着的飞机、
2、车船上观察其他飞机、车船的运动。,在运动学中，所描述的一切运动都只具有相对的意义。在不同的参考系中观察到的同一物体的不同运动特征之间存在着一定的联系。,本章利用运动的分解、合成的方法对点的速度、加速度进行分析，研究点在不同参考系中的运动，以及它们之间的联系。, 两种参考系,静参考系（定系或静系）：在分析问题中，认定不动的参考系。,动参考系（动系）：相对于静系运动着的参考系。,71 基 本 概 念,一般没特别说明，常以固连于地球的参考系取为静系。,2. 三种运动,绝对运动: 物体相对于定参考系的运动。,相对运动: 物体相对于动参考系的运动。,牵连运动: 动参考系相对于定参考系的运动。,3. 两种
3、运动轨迹,相对运动轨迹：动点相对于动系的运动轨迹。,绝对运动轨迹：动点相对于定系的运动轨迹。,曲柄滑块机构,0,B,动 点：滑块上B点。,动系：固连于曲柄OA。,绝对运动？,牵连运动？,相对运动？,71 基 本 概 念, 思考题, 思考题,定系：固连于机座。,动 点：杆上A点。,动系：固连于滑块B。,绝对运动？,牵连运动？,相对运动？,v,71 基 本 概 念, 思考题, 思考题,定系：固连于墙面。,合成运动,由于牵连运动的存在，使物体的绝对运动和相对运动发生了差别。,如果没有牵连运动，物体的相对运动等同于它的绝对运动。,如果没有相对运动，物体的牵连运动就是它的绝对运动。,由此可见，物体的绝对
4、运动可以看成是牵连运动和相对运动的合成结果。所以绝对运动也称为复合运动或合成运动。,71 基 本 概 念, 几点说明, 本章只研究点的复合运动理论，通过牵连运动来建立绝对运动和相对运动之间的联系，给出这些运动特征量（轨迹、速度、加速度）之间的关系。, 在复合运动的研究中，参考系的选择是问题的关键。恰当的选择参考系，能把复杂的运动分解为若干种简单运动，或由若干种简单运动组成各种不同的复杂运动。,71 基 本 概 念, 必须指出在这一章，绝对运动、相对运动都是指点的运动，可能是直线运动，也可能是曲线运动；而牵连运动是指刚体的运动，可能是平动、定轴转动或下一章的平面运动等。,71 基 本 概 念,4
5、.牵连点的概念,动参考系给动点直接影响的是该动系上与动点相重合的一点，这点称为瞬时重合点或动点的牵连点。,牵连运动一方面是动系的绝对运动，另一方面对动点来说起着“牵连”作用。但是带动动点运动的只是动系上在所考察的瞬时与动点相重合的那一点，该点称为瞬时重合点或牵连点。,（2）、进一步说明,（1）、定 义,由于相对运动，动点在动系上的位置随时间改变，所以牵连点具有瞬时性。,（3）、注 意,复合运动实例,71 基 本 概 念, 牵连点,牵连点,1.动点对动系要有相对运动(动点动系不能位于同一物体上）。,1.选择持续接触点为动点。,2.对没有持续接触点的问题，一般不选择接触点为动点。根据选择原则具体问
6、题具体分析。, 基本原则：, 具体选择方法：,5、 动点和动系的选择,71 基 本 概 念,2.动点的相对运动轨迹要明确、容易确定。,71 基 本 概 念, 练习题1, 速度合成定理,72 点的速度合成定理,绝对速度va ：动点相对于定系的速度。, 三种速度,71 基 本 概 念,牵连速度ve ：动系上与动点相重合的点相对于定系的速度。,相对速度vr ：动点相对于动系的速度。,牵连点运动轨迹,z,x,y,M(m),绝对运动轨迹,M1(m1), 三种运动轨迹,M2(m2),72 点的速度合成定理,设动点M在动系中沿某一曲线AB作相对运动，而动系本身相对定系作某种运动，相应的运动轨迹如下,72 点
7、的速度合成定理, 速度合成定理,动点M在时间t 内的绝对位移,则有,分析其中各项,代入（1）式可得,绝对速度,牵连速度,相对速度,动点的绝对速度等于其相对速度与牵连速度的矢量和。,72 点的速度合成定理,速度合成定理, 几点说明,72 点的速度合成定理, 牵连运动是指刚体(动系)的运动；而牵连速度是指刚体 上一点(与动点相重合的点)的速度。, 速度合成定理为平面矢量方程，由此可以写出两个投 影式，所以可以求解两个未知量。, 速度合成定理对任意形式的牵连运动都适用。,解 题 步 骤,(1)选定动点、动参考系和定参考系。,(2)分析三种运动和三种速度。,(3)作出速度平行四边形。,(4)利用速度平
8、行四边形中的几何关系解出未知数。,例7-1 军舰以20节（knot，1=1.852 km/h）的速度前进，直升飞机一每小时18 km的速度垂直降落。求直升飞机相对于军舰的速度。,72 点的速度合成定理, 例题7-1,例题 7-1,解：,72 点的速度合成定理, 例题 7-1,1、选择动点与动系,2、运动分析,绝对运动垂直向下直线运动。,相对运动直线运动。,牵连运动水平方向平动。,动系固连于军舰。,动点直升飞机。,定系固连于海岸。,O1,x,y,M,72 点的速度合成定理, 例题 7-1,3、分析三种速度，画出速度矢量图,绝对速度va：va大小已知，方向铅垂向下。,牵连速度ve：ve大小即为舰艇
9、的前进速度，方向水平向右。,应用速度合成定理,相对速度vr：大小方向均未知，为所要求的量。,可得飞机的相对速度大小,方向可用 vr 与水平线夹角表示为,例7-2 已知正弦机构中，曲柄OAl，角速度 , 30o 。求T型杆BCD的速度。, 例题 7-2,72 点的速度合成定理,例题 7-2,解：,1. 选择动点与动系。,动点曲柄上的A点；,动系固连于杆BC上。,2. 运动分析。,绝对运动以O为圆心 、l为半径的等速圆 周运动。,相对运动沿BC方向的直线运动。,牵连运动铅垂方向的平移。,72 点的速度合成定理, 例题 7-2,定系固连于机座。,3. 速度分析。,牵连速度ve： ve？, 方向沿铅垂
10、方向向上。,绝对速度 va ： va l，方向垂直于OC。,相对速度vr： vr？，方向沿BC。,72 点的速度合成定理, 例题 7-2,应用速度合成定理,可得T型杆BCD的速度,方向铅垂向上。,例7-3 仿形机床中半径为R的半圆形靠模凸轮以等速度v0沿水平轨道向右运动，带动顶杆AB沿铅垂方向运动，如图所示。试求=60时，顶杆AB的速度。, 例题 7-3,72 点的速度合成定理,例题 7-3,解：,1. 选择动点，动系与定系。,动系 固连于凸轮。,2. 运动分析。,绝对运动直线运动。,牵连运动水平平移。,动点 AB 杆的端点A 。,相对运动沿凸轮轮廓曲线运动。,定系固连于水平轨道。,72 点的
11、速度合成定理, 例题 7-3,3. 速度分析。,绝对速度va：大小未知，方向沿 杆AB向上。,相对速度vr： 大小未知，方向沿 凸轮圆周的切线 。,牵连速度ve：ve= v0，方向水平向 右。,72 点的速度合成定理, 例题 7-3,应用速度合成定理,72 点的速度合成定理, 例题 7-3,方向向上。,可得,因为杆AB作平动，所以此瞬时它的速度大小：,若取凸轮上与顶杆相重合的点A1为动点，动系固连于顶杆AB，则相对运动轨迹是什么曲线？,72 点的速度合成定理, 例题 7-3, 讨论,72 点的速度合成定理, 例题 7-3, 讨论,若取凸轮上与顶杆相重合的点A1为动点，动系固连于顶杆AB，则相对
12、运动轨迹是什么曲线？,例7-5 如图所示，半径为R，偏心距为e的凸轮，以匀角速度绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平动，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。求在图示位置时，杆AB的速度。, 例题7-5,72 点的速度合成定理,例题 7-5,e,O,C,B,解：,1. 选择动点，动系与定系。,动系Oxy，固连于凸轮。,2. 运动分析。,绝对运动直线运动。,相对运动 以C为圆心的圆周运动。,牵连运动 绕O 轴的定轴转动。,动点 AB的端点A 。,定系固连于机座。,A,72 点的速度合成定理, 例题 7-5,e,O,C,A,B,应用速度合成定理,3. 速度分析。,绝对速度va： va为所要求的
13、未知量， 方向沿杆AB。,相对速度vr：大小未知，方向沿凸轮 圆周的切线 。,牵连速度ve： veOA ，方向垂直 于OA 。,72 点的速度合成定理, 例题 7-5,可得杆AB的速度,方向向上。,例7-6 如图所示为裁纸板的简图。纸板ABCD放在传送带上，并以匀速度v1=0.05 ms-1与传送带一起运动。裁纸刀固定在刀架K上，刀架K以匀速度v2=0.13 ms-1沿固定导杆EF运动。试问导杆EF的安装角应取何值才能使切割下的纸板成矩形。,A,B,C,D,E,F,K,v1,v2, 例题 7-6,72 点的速度合成定理,例题 7-6,A,B,C,D,E,F,K,v1,v2,1. 选择动点，动系
14、与定系。,相对运动垂直于纸板的运动方向 的直线运动。,牵连运动 随纸板一起作水平向 左的平动。,绝对运动 沿导杆的直线运动。,动系固连于纸板ABCD上。,动点取刀架K为动点。,2. 运动分析。,解：,定系固连于机座。,72 点的速度合成定理, 例题 7-6,E,A,B,C,D,F,K,v1,故导杆的安装角,3. 速度分析。,绝对速度va： va=v2， 方向沿杆EF向 左上。,牵连速度ve： ve=v1 ，方向水平向左。,相对速度vr： 大小未知，方向垂直于 纸板的运动方向。,由几何关系可得,应用速度合成定理,72 点的速度合成定理, 例题 7-6,例7-7 船A和船B分别沿夹角是的两条直线行
15、驶。已知船A的速度是v1，船B始终在船A的左舷正对方向。试求船B的速度v2和它对船A的相对速度。,O,y,y,x,x,A,B,v2,v1, 例题 7-7,72 点的速度合成定理,例题 7-7,1. 选择动点，动系与定系。,相对运动沿AB的直线运动。,牵连运动 随动系Ax y的直线平动。,绝对运动 沿OB的直线运动。,动系 Ax y固连于船A上。,动点取船B上任一点为动点。,2. 运动分析。,O,y,x,A,B,解：,v2,v1,定系固连于海岸。,72 点的速度合成定理, 例题 7-7,3. 速度分析。,4. 求速度。,应用速度合成定理,绝对速度va： va =v2，大小待求，方向沿OB。,相对
16、速度vr：大小未知，方向沿AB 。,牵连速度ve： ve = v1 ，方向沿轴Ox正向。,得船B的绝对速度和对于船A的相对速度的大小,72 点的速度合成定理, 例题7-7, 加速度合成定理, 三种加速度,73 牵连运动是平移时点的加速度合成定理,绝对加速度动点相对于定系的加速度称为绝对加速度，用aa表示。,相对加速度动点相对于动系的加速度称为相对加速度，用ar表示。,牵连加速度动系上与动点相重合的那一点（牵连点）对于定系的加速度称为牵连加速度，用ae表示。,73 牵连运动是平移时点的加速度合成定理,1. 三种加速度,动点M在定系和动系中的矢径分别用r和r表示。,上式在定系中对时间t 求二阶导数
17、，有,有关系式,73 牵连运动是平移时点的加速度合成定理,2.牵连运动是平移时点的加速度合成定理,ae,ar,加速度合成定理 牵连运动为平移时，点的绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度的矢量和。,73 牵连运动是平移时点的加速度合成定理,加速度合成定理,例7-10 具有曲面AB的靠模沿水平方向运动时，推动顶杆MN沿铅直固定导槽运动。已知在图中瞬时靠模具有水平向右的速度v1，水平向右的加速度a1，曲线AB在杆端M接触点的切线与水平线的夹角为；曲线AB在杆端接触点M的曲率半径是；试求顶杆 MN 在这瞬时的速度及加速度。, 例题 7-10,73 牵连运动是平移时点的加速度合成定理,例题 7-10,1
18、. 选择动点，动系与定系。,动点顶杆端点M。,动系固连于靠模上。,2. 运动分析。,绝对运动M点沿铅直方向的直线运动。,牵连运动 靠模水平向右的平动。,相对运动相对于靠模沿其表面 AB 的 曲线运动。,解：,定系固连于机座。, 例题 7-10,73 牵连运动是平移时点的加速度合成定理,3. 速度分析。,绝对速度va： 大小未知，方向沿杆MN 向上。,牵连速度ve： ve= v1 ，方向水平向右。,相对速度vr：大小未知，方向沿AB的 切线方向方向。, 例题 7-10,73 牵连运动是平移时点的加速度合成定理,根据点的速度合成定理，有,可求得动点 M 的绝对速度即顶杆 MN 速度的大小,也可求得
19、相对速度的大小,方向是铅直向上。, 例题 7-10,73 牵连运动是平移时点的加速度合成定理,vr,4. 加速度分析。,由点的加速度合成定理,绝对加速度aa：大小待求，方向铅直。,牵连加速度ae： ae= a1 ，方向水平向右。,相对加速度切向分量art：大小未知，沿相 对轨迹的切线。,相对加速度法向分量arn： arn = vr 2 / 沿相对轨迹的法线。, 例题 7-10,73 牵连运动是平移时点的加速度合成定理,将上式投影到与atr相垂直的轴x1上，得,可求得顶杆在该瞬时的加速度,若上式求得aa是负值，说明aa的实际指向与图示假定指向相反。,x1, 例题 7-10,73 牵连运动是平移时
20、点的加速度合成定理,由点的加速度合成定理,例7-11 曲柄OA绕固定轴O转动，丁字形杆BC沿水平方向往复平动，如图所示。铰链在曲柄端A的滑块，可在丁字形杆的铅直槽DE内滑动。设曲柄以角速度作匀角速转动，OA=r，试求杆BC 的加速度。, 例题 7-11,73 牵连运动是平移时点的加速度合成定理,例题 7-11,C,解：,1. 选择动点，动系与定系。,动系固连于丁字形杆。,2. 运动分析。,绝对运动以O为圆心的圆周运动。,相对运动沿槽CD的直线运动。,牵连运动丁字形杆BC 沿水平方 向的平动。,动点滑块A 。,定系固连于机座。, 例题 7-11,73 牵连运动是平移时点的加速度合成定理,C,应用
21、加速度合成定理,3. 加速度分析。,绝对加速度aa： aa = OA 2 ，沿着 OA，指向O。,相对加速度ar：大小未知，方向沿 铅直槽DE。,牵连加速度ae：大小未知，为所要 求的量，沿水平方向。,得杆BC 的加速度, 例题 7-11,73 牵连运动是平移时点的加速度合成定理,C,水平向左。,例7-12 凸轮在水平面上向右作减速运动，如图所示。设凸轮半径为R，图示瞬时的速度和加速度分别为v和a。求杆AB在图示位置时的加速度。, 例题 7-12,73 牵连运动是平移时点的加速度合成定理,例题 8-12,解：,1. 选择动点，动系与定系。,动系Oxy，固连于凸轮。,2. 运动分析。,绝对运动直
22、线运动。,牵连运动水平平动。,动点 AB的端点A 。,相对运动沿凸轮轮廓曲线运动。,定系固连于机座。, 例题 7-12,73 牵连运动是平移时点的加速度合成定理,3. 速度分析。,绝对速度va：大小未知，方向沿杆AB 向上。,相对速度vr：大小未知，方向沿凸轮 圆周的切线 。,牵连速度ve： ve= v ，方向水平向右。,根据速度合成定理,可求得：, 例题 7-12,73 牵连运动是平移时点的加速度合成定理,A,B,v,n,R,a,4. 加速度分析。,绝对加速度aa：大小未知，为所要求的量， 方向沿直线AB。,相对加速度切向分量art：大小未知，垂直于 OA，假设指向右下。,牵连加速度ae：
23、ae= a ，沿水平方向。,相对加速度法向分量arn： aen = vr 2 / R，沿 着OA，指向O。, 例题 7-12,73 牵连运动是平移时点的加速度合成定理,根据加速度合成定理,上式投影到法线 n 上，得,解得杆AB在图示位置时的加速度, 例题 7-12,73 牵连运动是平移时点的加速度合成定理,铅直向下。, 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理, 科氏加速度,74 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理,设动点M在园盘上半径是r的圆槽内相对于圆盘以大小不变的速度vr作圆周运动，同时，圆盘以匀角速度绕定轴O转动，求M点牵连、相对、绝对加速度。,引 例,r,vr,动系固连于圆盘。,动
24、点 M点 。,解：,相对速度 vr=const,牵连速度 ver ,74 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理,O,M,r,vr,ve,动系固连于圆盘。,动点 M点 。,M,ver ,应用速度合成定理,var + vr=常量,ae = aen，,ar = arn ，,aa = aan，,ae = aen = ve2 /r= r 2,ar = arn = vr2 /r,aa = aan = va2 /r= (r + vr)2 /r,aa = vr2 /r + r 2 + 2 vr,所以M点的绝对运动为沿槽匀速圆周运动 .,加速度分析, 引 例,74 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理,O,
25、vr=const,可得,所以,aa = vr2 /r + r 2 + 2 vr,由此可见，在此实例中，点M的绝对加速度aa并不等于其牵连加速度（大小r2）与相对加速度（大小 ）的矢量和。这里增加了一项2vr称为科氏加速度，用aC表示。,即：当牵连运动是定轴转动时，动点的绝对加速度并不等于牵连加速度与相对加速之矢量和。, 引 例,74 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理,设载体以角速度和角加速度 绕定系Oxyz的轴z转动；动系Ox y z 固连于载体，动点M沿相对轨迹AB运动。,(1) vr与 ar,相对矢径,相对速度,相对加速度,74 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理,1.牵连运动是
26、定轴转动时点的加速度合成定理,(2) ve与 ae,牵连速度,牵连加速度,74 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理,(3) va与 aa,由点的速度合成定理,在定系中求上式对时间 t 的导数,74 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理,得,74 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理,ar,74 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理,它表示了牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理（科里奥利定理），即当牵连运动是定轴转动时，动点在每一瞬时的绝对加速度，等于它的牵连加速度、相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。,上式右端的最后一项称为科氏加速度，并用aC表示，即,最后得到动点绝对加速度的表达
27、式,代入,74 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理,(3) 在一些特殊情况下科氏加速度aC等于零： =0 的瞬时； vr=0 的瞬时； vr 的瞬时。,(1) 科氏加速度是牵连转动（）和相对运动（vr）相互影响的结果。,(2) aC的大小：,aC的方向：,垂直于与vr所确定的平面，由右手规则确定。,74 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理,2. 科氏加速度,例7-13 已知曲柄OAr ，以角速度0匀速转动。求曲柄OA 水平，摇杆AB与铅垂线夹角为30o时，摇杆AB的角加速度。,74 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理, 例 题 13,例题 7-13,74 牵连运动是定轴转动时点的加
28、速度合成定理, 例 题 13,1. 选择动点，动系与定系。,动系O1xy，固连于摇杆 O1B。,2. 运动分析。,绝对运动以O为圆心的圆周运动。,相对运动沿O1B的直线运动。,牵连运动摇杆绕O1轴的摆动。,动点滑块 A 。,定系固连于机座。,解：,84 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理, 例 题 13,2. 速度分析,由前面例子，根据速度合成定理,已经求得牵连速度,相对速度,1,摇杆的角速度,3. 加速度分析,aa: aa= r 02，沿着OA，指向O；,ar : 大小未知，沿着O1B，指向B；,aen : aen = r 0 2 /8，沿着O1A，指向O1；,aet : ae t =
29、(O1A) ， 为未知，垂直于O1A，指向未知，假设指向左上；,aC : 垂直于O1B，指向左上。,74 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理, 例 题 13,加速度分析,1,将上式沿aet 方向投影，得,由加速度合成定理,74 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理, 例 题 13,即,求得摇杆AB 的角加速度,（逆时针）。,例7-14 已知凸轮的偏心距OCe，凸轮半径 ，并且以等加速度绕O轴转动， 图示瞬时，AC垂直于OC， 30o。求顶杆的速度与加速度。,74 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理, 例 题 14,例题 7-14,74 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理, 例 题
30、 14,解：,1. 选择动点，动系与定系。,动系固连于凸轮。,2. 运动分析。,绝对运动直线运动。,相对运动 以C为圆心的圆周运动。,牵连运动 绕O 轴的定轴转动。,动点 AB的端点A 。,定系固连于机座。,3. 速度分析。,74 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理, 例 题 14,应用速度合成定理,绝对速度： va为所要求的未知量， 方向沿杆AB。,相对速度：大小未知，方向沿凸轮 圆周的切线 。,牵连速度： veOA 2e ， 方向垂直于OA 。,可得AB杆速度,va vetan30o,相对速度,4. 加速度分析,aa: 大小未知，为所要求的量， 沿着AB，假设指向上方；,ar : ar
31、n=vr2/AC，沿着AC，指向C；,aen : aen = OA 2 ，沿着OA， 指向O；,ar t ： 大小未知，垂直于AC， 指向未知，假设指向右上；,aC : 沿着CA，指向左上。,74 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理, 例 题 14,根据加速度合成定理,74 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理, 例 题 14,将上式沿aC方向投影，得,从而求得顶杆的加速度,例7-15 在滑块导杆机构中，由一绕固定轴O作顺钟向转动的导杆OB带动滑块A沿水平直线轨道运动，O到导轨的距离是h。已知在图示瞬时导杆的倾角是，角速度大小是 ，角加速度 =0。试求该瞬时滑块A的绝对加速度。,74 牵
32、连运动是定轴转动时点的加速度合成定理, 例 题 15,例题 7-15,O,A,B,y,x,h,1. 选择动点，动系与定系。,相对运动沿导杆OB的直线运动。,牵连运动 导杆OB绕轴O的匀速转动。,绝对运动 沿导轨的水平直线运动。,动系 固连于导杆。,动点取滑块A为动点。,2. 运动分析。,解：,定系固连于机座。,应用速度合成定理,速度合成图如图所示。,求得,74 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理, 例 题 15,3. 加速度分析。,投影到Oy轴上，得,绝对加速度aa：大小待求，方向水平。,相对加速度ar：大小未知，方向沿BO。,科氏加速度aC： , 方向OB 偏上方。,根据加速度合成定理,求得滑块A的加速度,74 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理, 例 题 15,
