1、 第十一章 曲线积分与曲面积分57第十一章 曲线积分与曲面积分一、基本要求及重点、难点1. 基本要求(1) 了解第一类曲线积分（即对弧长的曲线积分）的概念及其物理与几何意义，并掌握其计算方法。(2) 了解第二类曲线积分（即对坐标的曲线积分）的概念及物理意义，并掌握其计算方法，能熟练应用曲线积分计算力场沿曲线所做的功。(3) 了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。(4) 掌握格林公式的条件和结论，熟练掌握利用格林公式把第二类曲线积分化为二重积分的计算方法。(5) 掌握在单连通区域上第二类曲线积分与路径无关的等价条件及其应用，会求全微分的原函数。2. 重点及难点（1）重点： (a) 熟练选择
2、适当的参数方程或坐标系将曲线积分化为定积分。(b) 格林公式（熟练使用格林公式计算曲线积分） 。(c) 曲线积分与路径无关的概念及条件。（2）难点： (a) 两类曲线积分的关系。(b) 格林公式的灵活使用（条件、结论；辅助曲线的添加） 。二、内容概述上一章，我们已经把积分概念从积分范围为数轴上一个区间的情形推广到了积分范围为平面或空间内一个闭区域的情形。本章将把积分范围推广到一段曲线弧或一片曲面的情形，并阐明有关这两种积分的一些基本内容。1、曲线积分的基本概念与性质(1) 对弧长的曲线积分（又称第一类曲线积分）定义 设 在 xOy 面内的光滑曲线 上有界.(,)f L(极限存在时) 01(,)
3、lim(,niiLfdsfs其中 是任意分割曲线 为 个小段弧后,所得到的第 个小弧段上的任意一点,(,)ii高等数学学习指导58为该段弧的长度, is1maxiins为空间曲线时，类似地有. 01(,)li(,)niifxyzdsfs物理意义 设曲线 的线密度为 ，则其质量为L,xy ()Mds性质 1 运算性质 (,)(,)(,)(,)L LLfxygsfxysgxyds其中 为常数 Lkdskfdk性质 2 对弧长的曲线积分与积分路径的向无关，即 (,)(,)LLfxysfxys其中 是与 方向相反的曲线弧性质 3 对积分路径具有可加性，即 12 (,)(,)(,)(,)kLLLLfxy
4、dsfxydsfxydsfxyds其中 12k(2)对坐标的曲线积分（又称第二类曲线积分）定义 设 在 xOy 面内的有向光滑曲线 上有界.(,),PxyQL ,(,)Ld01lim(,)(,)niiiiPxQy(极限存在时), 其中 是任意分割曲线 为 个有向小弧段后 ,所得的第 个小弧段上的),(iLi任意一点, 为该段弧的长度, isinis1ax为空间曲线时，类似地有 (,)(,)(,)PxyzdQyzdRyzd. 01lim,(,)niiiiiixz物理意义 变力 沿曲线 所作的功为(,) (,)FPyixjL第十一章 曲线积分与曲面积分59 (,)(,)LWPxydQy性质 1 对
5、坐标的曲线积分与积分路径的方向有关，即, (,)(,)(,)(,)L LPxdQy其中 是与 方向相反的有向曲线弧性质 2 对积分路径具有可加性，即 1 (,)(,)(,)(,)L LPxydQyxdy2 (,)kL LxPxdQy其中 k1（3）两类曲线积分之间的关系平面曲线 上两类曲线积分有如下关系L (,)(,)PxydQy (,)cos(,)cosLPxyQxyd其中 为平面有向曲线 上点 处的切线向量的方向角,空间曲线 上两类曲线积分有如下关系(,)(,)(,)PxyzdxyzdRxyzd coscos(,)cos Qd其中 为空间有向曲线 上点 处的切线向量的方向(,)(,)(,)
6、xyzxyz(,)xyz角2、曲线积分的计算公式(1) 对弧长的曲线积分设函数 在平面曲线 上连续(,)fxy: (t), (t),Lxyt在区间 上连续，且 ，则(),t 220 22 (,)(), ()()Lfxydsftttd设平面曲线 的方程为 且 在区间 上连续，则,bxaxyba, 2 (,),()1()Lafxysf x设函数 在空间曲线 上连续，),(zyxf : ,tyt,tz t)高等数学学习指导60在区间 上连续，且 ，则(),()tt,22()tt2()0t ,fxyzds 2(), ft dt注意 化对弧长的曲线积分为定积分时,定积分的上限一定比下限大（2）对坐标的曲
7、线积分设函数 在有向曲线 上连续， 的参数方程为: 为),(,yxQPL ),(),(tytx有向曲线 的始点对应的参数值， 为其终点对应的参数值且 在以 为端L,t,点的区间上连续， ，则22()0tt (,),LPxydQy (), ()( ),( )PtQttd 若 是由方程 给出, 的始点的横坐标为 ,终点的横坐标为 , 具有一 ()xLab( x阶连续导数,则 (,)(,)Lxydy (, )(, )(baxxd类似地,对于空间曲线 :)ttzt(,)(,(,PxyzQxyzdRxyd , )(), ()tttQttdt (), (R为有向曲线 的始点对应的参数值， 为其终点对应的参
8、数值（3）二元函数的全微分求积设函数 , 在单连通域 内有连续的一阶偏导数,且 ，则)(yxPQGxQyP在 内为某一函数 的全微分，且有dG),(yxu，(如图 (a)或00 (,)(,)xyuydd，(如图 (b)xPQxy 00 ),x图 (a),0yA,B)(C图 (b)x),0yA0B),C第十一章 曲线积分与曲面积分613、曲线积分的有关定理定理 1 (格林公式) 设闭区域 是由分段光滑的曲线 围成,函数 在DL),(,yxQP上具有连续的一阶偏导数，则有D， LDQPdxyxQdyA其中 是 的取正向的边界曲线L定理 2 (平面上曲线积分与路径无关的条件) 设函数 , 在单连通域
9、 内)(yxPQG有连续的一阶偏导数,则以下四个条件等价 与路径无关,即 LPdxQy, LPdxQy1 Ldxy其中 、 为 内具有相同始点和终点任意曲线；1G ,其中 为 内的任意闭曲线; 0LPdxQyAG 在 内恒成立; ,即 在 内为某一函数 的全微分()PdxyuxPdQy(,)uxy4、曲面积分的基本概念与性质（1）对面积的曲面积分（又称第一类曲面积分）定义 设 在光滑曲面 上有界.(,)fxyz(极限存在时)01,lim(,niifdSfS 其中 是任意分割曲面 为 片小曲面后,所得到的第 片小曲面上的任意一点,(,)ii i为该片小曲面的面积, 为 片小曲面 的直径中的最大者
10、iSniS(,2)n物理意义 设曲面 的面密度为 ，则其质量为(,)xyzOO高等数学学习指导62(,)MxyzdS性质 设曲面 都是光滑的,则12,(1,2)kik 12(,)()fxyzfxyzfxyzdS(,)kfxyzdS（2）对坐标的曲面积分（又称第二类曲面积分）指定了侧的曲面称为有向曲面定义 设 在有向光滑曲面 上有界.(,)(,)(,)PxyzQRxyz(极限存在时)01,lim,niiiyzdPS (极限存在时)01(,)li(,)niiizxxyz(极限存在时)01(,)li(,)niiixyRdRS 其中 是任意分割有向曲面 为 片小曲面后,所得到的第 片小曲面 上的任意,
11、iiiiS一点, 分别为 在三个坐标面上的投影. 为 片小曲面(),()ixyiyzizxSSiSni的直径中的最大者12,in曲面 在点 处的单位法向量为(,)iicos cosiiinjk()coscos,().iyziizxiixyiSSSS物理意义 稳定流动的不可压缩的流体（密度 ） ，如果在点 处的流速是1),(zyx,(,) (,)(,)vPxyziQxyzjRxyzk单位时间内流过曲面 一侧的流量dyzxdy性质 1 设曲面 则12,k1PyzQxRyPzQxRdy2 .kddzx 第十一章 曲线积分与曲面积分63性质 2 设 表示与 取相反侧的有向曲面，则PdyzQxRdyPd
12、zQxRdy（3）两类曲面积分之间的关系空间曲面 上的两类曲面积分有如下关系(coscos)PdyzQxRdyPQRdS其中 是有向曲面 上点 处的法向量的方向余弦cos,cs,)xz5、曲面积分的计算公式（1）对面积的曲面积分设光滑曲面 的方程是 在坐标面 上的投影区域为 ，则),(yxzxoyxyD(,fdS2,()1xy xyDfzzd设光滑曲面 的方程是 在坐标面 上的投影区域为 ，则),(zoxzD(,fxydS2,(),1xz xzDfyzyd设光滑曲面 的方程是 在坐标面 上的投影区域为 ，则),(oyz(,fxyzdS2(,)1yz yzDfxzxd（2）对坐标的曲面积分设光滑
13、曲面 的方程是 在坐标面 上的投影区域为 ，则),(yxzxoyxyD(,),xyDRxyzdRd取上侧时为正， 取下侧时为负注意 当曲面 是母线平行于 轴的柱面 时， 上任意一点的法向量与z0),(yxF轴的夹角的余弦 ，则zcos02高等数学学习指导64(,)0Rxyzd设光滑曲面 的方程是 在坐标面 上的投影区域为 ，则),(zxxozxzD(,)Qxyzd(,)xzDQyd取右侧时为正， 取左侧为负设光滑曲面 的方程是 在坐标面 上的投影区域为 ，则(,)yyozyz(,)Pxyzd,yzDPxd取前侧时为正， 取后侧为负6、曲面积分的有关定理定理 1（高斯公式） 设空间闭区域 是由分
14、片光滑的闭曲面 所围成，函数在 上具有一阶连续偏导数，则有),(),(),(zyxRQzyxP或dvPyzQdxRyA其中 是 的整个边界曲(coscos),dSxyz 面的外侧， 是 上点 处的法向量的方向余弦cos,),(zyx定理 2（斯托克斯公式） 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则,函数 在包),(),(),(zyxRQzyxP含曲面 在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有或 dyzxdyPdxQyRzPQRA， coscosPdxyRzdSxyzPR其中 为有向曲面 的单位法向量cos,cs n第十一章 曲线积分与
15、曲面积分65三、典型例题分析例 1： 计算 ,其中 为圆周 ,直线 及 轴在第一象限内所2 xyLedsAL22xyaxy围成的扇形的整个边界.分析 由于曲线 分段光滑,所以先将 分为若干光滑曲线段之和,再利用曲线积分的可加性计算曲线积分.解: 22221 3 xyxyxyxyLLLLedsedsedseds的方程为 1,0a2()dsyxd21 2 0axxLee2 0()1axaede的方程为：2cos,in,4tyt2222()(s)(cos)dsxtdatat2 4 0 yaLeet的方程为 ， .3,()x21()syxd23 0axyaLds所以22221 3 xyxyxyxyLL
16、LLeeedsedsA44aaa例 2 ：具有连续偏导数的函数 应满足怎样的条件才能使曲线积分(,)fxy与积分路径无关。(,)Lfxyd解： 设 (,QxfyP),),ffyy ),(),(yxffxQ(充要条件)xPf例 3：计算 ,其中 为由点 到点 的曲线dydyI()2(42L)0,(O)1,(AxO2L13a高等数学学习指导66.xy2sin解： dyxdyI )()(42由 xyP2知xyQ)(42,xy即。1523)(104102dyd故 原 式例 4 ：确定 值，使曲线积分 ( 与路径无关，并求aAB dyxxaa)56()4214出当，的坐标分别为：（，） ， （，）时曲线积分的值。解： 4xyP42156yQaxQyPxxYaa 221 )1(系数相等： 4a=6(a-1) a=3221)(64aayx ABCB= )0,1( )2,1(0 42344234 )56()56() dyxdyxdyxdyx=020479(例 5：计算 ,其中 为由点 到点 的上半圆Lxx dymedmyeI )cos()( L)0,(a),(周 .0,2ayx解： yeyePxxcos)sin(mQxxco（如右图）y即 x)0,(aAM
