1、附 录 A,截面图形的几何性质, 为什么要研究截面图形的几何性质, 形心、静矩及其相互关系, 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径, 移轴定理, 转轴定理, 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心 主惯 性矩, 确定组合图形的形心主轴和形心主矩的 方法, 结论与讨论,一 为什么要研究截面图形 的几何性质, 实际构件的承载能力与变形形式有关，不同变形形式下的承载能力，不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。, 不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将产生不同的几何量。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。,研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到
2、与截面图形的几何形状和尺寸有关的量。这些量统称为几何量，包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴等。, 为什么要研究截面图形的几何性质,二、形心、静矩及其相互关系,Centroid of area, static moment,一 形心 Centroid of area,对于等厚度的平板，其重心坐标,若,形心坐标, 形心、静矩及其相互关系,图形对于 y 轴的静矩,图形对于 z 轴的静矩,量纲：长度3 ，可正、可负、可为零, 形心、静矩及其相互关系,静矩与形心坐标之间的关系, 已知静矩可以确定图形的形心坐标, 已知图形的形心坐标可以确定静矩,形心轴的概念；对称轴为形心轴, 形心
3、、静矩及其相互关系,对于组合图形,例1 求形心位置,解：,建立参考坐标系oyz,y,z,对于由型钢组合的截面图形，必须查表确定各个图形的 面积、形心坐标等参数！,二、惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径,（Moment of inertia; Production of inertia; Polar moment of inertia ; Radius of gyration）,图形对 y 轴的惯性矩,图形对 z轴的惯性矩,图形对 y z 轴的惯性积,图形对 O 点的极惯性矩, 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径,量纲：长度4,图形对 y 轴的惯性半径,图形对 z 轴的惯性半径, 惯性矩、惯性积
4、、极惯性矩与惯性半径, 0, 0, 0, 0, 0, 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径,若有一轴为对称轴，则, 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径,例2 已知：圆截面直径d 求：Iy， Iz, 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径, 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径,已知：矩形截面b h求：Iy， Iz,思 考 题,判断 的正负,平行移轴定理,Parallel-axis theorem,移轴定理（parallel-axis theorem）是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标的惯性矩与惯性积。, 移轴定理, 移轴定理
5、,y1=yb z1=za,已知： Iy、Iz、Iyz,求： Iy1、Iz1、Iy1z1, 移轴定理,y1=yb z1=za, 移轴定理,如果y、z轴通过图形形心，上述各式中的SySz0，, 移轴定理,因为面积及包含a2、b2的项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。,a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意二者的正负号；二者同号时abA为正，异号时为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。,在所有互相平行的轴中，截面对形心轴的惯性矩最小,假定x,y为形心轴则有以下结论：,若只沿轴或轴移动，惯性积不变,例 求右图对形心轴的惯性矩、惯性积。,解：,z,y,思 考 题,
6、b,z,已知,求, 转轴定理,rotation-axis theorem,所谓转轴定理（rotation-axis theorem）是研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。, 转轴定理,已知： Iy、Iz、Iyz、,求： Iy1、Iz1、Iy1z1, 转轴定理, 转轴定理,图形对一对垂直轴的惯性矩之和与转轴时的角度无关，即在轴转动时，其和保持不变。, 主轴与形心主轴、主惯 性矩与形心主惯性矩, 主轴与形心主轴、主惯性矩 与形心主惯性矩, 主轴与形心主轴、主惯性矩 与形心主惯性矩,从而确定了一对互相垂直的坐标轴y0轴z0轴。,当 改变时，Iyl、 Izl的数值也发生
7、变化，而当=0或=0+90。时，二者分别为极大值或极小值。, 主轴与形心主轴、主惯性矩 与形心主惯性矩,Iy0、 Iz0主惯性矩,坐标轴y0轴z0轴称为主惯性轴。,对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的Iy惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心主矩。工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。, 主轴与形心主轴、主惯性矩 与形心主惯性矩,有对称轴截面的惯性主轴,Iyz= (yizidA- yizidA)=0, 主轴与形心主轴、主惯性矩 与形心主惯性矩,有对称轴截面的惯性主轴,当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主轴。, 确定组合图
8、形的形心主轴 和形心主矩的方法, 确定组合图形的形心主轴 和形心主矩的方法,工程计算中应用最广泛的是组合图形的形心主惯性矩，即图形对于通过其形心的主轴之惯性矩。为此，必须首先确定图形的形心以及形心主轴的位置。, 确定组合图形的形心主轴 和形心主矩的方法,因为组合图形都是由一些简单的图形（例如矩形、正方形、圆形等）所组成，所以在确定其形心、形心主轴以至形心主惯性矩的过程中，均不采用积分，而是利用简单图形的几何性质以及移轴和转轴定理。, 确定组合图形的形心主轴 和形心主矩的方法, 将组合图形分解为若干简单图形，并确定组合图形的形心位置。, 以形心为坐标原点，设Oyz坐标系y、z 轴 一般与简单图形
9、的形心主轴平行。确定简 单图形对自身形心轴的惯性矩，利用移轴 定理（必要时用转轴定理）确定各个简单 图形对y、z轴的惯性矩和惯性积，相加（空洞时则减）后便得到整个图形的Iy、Iz 和Iyz。, 计算形心主惯性矩Iy0和Iz0。, 确定形心主轴的位置，即形心主轴与 z 轴的夹角。, 确定组合图形的形心主轴 和形心主矩的方法,例 题,图形尺寸如图所示，求：图形的形心主矩, 确定组合图形的形心主轴 和形心主矩的方法,例 题,1将所给图形分解为简单图形的组合, 确定组合图形的形心主轴 和形心主矩的方法,例 题,2.建立初始坐标，确定形心位置, 确定组合图形的形心主轴 和形心主矩的方法,例 题,Iy0=Iy0()+Iy0(), 确定组合图形的形心主轴 和形心主矩的方法,例 题,Iz0=Iz0()+Iz0(), 确定组合图形的形心主轴 和形心主矩的方法,A-4 试求图示平面图形的形心主惯性矩。,1求形心位置，由对称性可知，对称中心C为形心。,2求图形对轴和轴的惯性矩和惯性积,mm4,mm4, 确定组合图形的形心主轴 和形心主矩的方法,3求形心主轴的位置,或, 确定组合图形的形心主轴 和形心主矩的方法,4求形心主惯性矩, 结论与讨论,怎样判断主轴？, 结论与讨论,怎样判断主轴？, 结论与讨论,怎样判断主轴？, 结论与讨论, 结论与讨论,怎样判断主轴？,谢 谢 大 家 ！,
